Mannigfaltigkeiten unter linearen Abbildungen

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TrolldiRola Auf diesen Beitrag antworten »
Mannigfaltigkeiten unter linearen Abbildungen
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich stecke gerade bei folgender Überlegung fest:

Gegeben Sei eine differenzierbare n-Mannigfaltigkeit, unter welchen Voraussetzungen ist das Bild dieser Mannigfaltigkeit unter einer linearen Abbildung wiederum eine Mannigfaltigkeit?



Meine Ideen:
Sei der zur Mannigfaltigkeit gehörige Homöomorphismus und besagte lineare Abbildung.

Ist die Abbildung linear und bijektiv, so ist der Homöomorphismus zu und somit ist das Bild wieder eine Mannigfaltigkeit.

Gibt es denn ein Argument dafür, dass schwächere Vorraussetzungen an genügen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll die Mannigfaltigkeit eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von sein? Oder wo soll sonst die lineare Abbildung definiert sein? (Denn eine Mannigfaltigkeit ist ja im Allgemeinen kein Vektorraum)

Bijektivität ist nicht notwendig: Das Bild der Mannigfaltigkeit unter der Nullabbildung ist wieder eine Mannigfaltigkeit (nulldimensional). Oder soll die Dimension erhalten bleiben?
TrolldiRola_2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau die Mannigfaltigkeit sollte Untermannigfaltigkeit des sein.
Die Mannigfaltigkeit kann die Dimension ändern, sollte aber nicht null werden.

Gemeint ist also .

(P.S. habe leider kein Passwort anlegen können beim stellen der Frage, und der Link für das Passwort-zurücksetzen via Mail funktioniert nicht, sodass ich nochmals als Gast antworten muss)
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir nicht sicher, aber ich meine, dass Injektivität von reichen müsste. verwirrt
(Notwendig ist diese Bedingung sicher nicht.)
Ich melde mich nochmal, falls mir genaueres einfällt.

Noch ein Wort zu deinen Überlegungen oben: Im Allgemeinen kann man eine Mannigfaltigkeit nicht mit einer einzigen Karte beschreiben; d.h. du musst das ganze einschränken auf offene Teilmengen von .

Wegen der Probleme beim Einloggen: Melde dich per E-Mail bei [email protected], da wird dir sicherlich geholfen.
TrolldiRola Auf diesen Beitrag antworten »

Ja Injektivität könnte reichen.
Dann hat eine Links-Inverse und mit müsste man wieder eine Karte definieren können. (Bzw wie du angemerkt hast entsprechend mehrere).
Ist nur ne spontane Beweisidee ... Müsste man evtl sauber aufschreiben.


Geht evtl noch was ... Surjektivität? Lehrer
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nur mit Surjektivität klappt es nicht:
Nimm die Projektion .
Die eindimensionale Sphäre in ist eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit, ihr Bild aber nicht.
 
 
TrolldiRola Auf diesen Beitrag antworten »

ist aber doch eine Mannigfaltigkeit mit Rand oder sehe ich das falsch?

Dann wäre nur der Rand problematisch. Wenn wir also in der Ausgangspunkt eine offene Teilmenge von M haben würde es gehen? (Muss man das nicht soweiso machen?)
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, du willst auch Mannigfaltigkeiten mit Rand haben.

Dann folgendes Beispiel: Wieder eine Projektion, dieses mal .

Als Untermannigfaltigkeit des nehmen wir die Schraubenlinie, und dazu noch ein bestimmtes Geradenstück:

(diese Untermannigfaltigkeit ist nicht zusammenhängend).

Das Bild unter ist



(das erste ist einfach der Einheitskreis). Diese Menge ist keine Untermannigfaltigkeit von .

Surjektivität reicht also nicht.


Und noch etwas: Wenn die lineare Abbildung nicht injektiv ist, dann findest du immer eine Untermannigfaltigkeit des Urbildraumes (mit Dimension größer als 0), die auf eine nulldimensionale Mannigfaltigkeit abgebildet wird: Nimm einfach den Kern. smile
TrolldiRola Auf diesen Beitrag antworten »

Schönes Beispiel, vielen Dank. Das überzeugt mich auf jeden Fall, dass allgemein Surjektivität nicht reicht. Freude

Wenn man aber zulässt, dass Untermannigfaltigkeiten 0-dimensional werden können und man nur zusammenhängende Mannigfaltigkeiten als Input für zulässt. Geht dann immer noch was schief?

Oder anders gefragt: Welche Eigenschaften neben Surjektivität sollte oder sollte noch erfüllen, damit das Bild wieder eine Mannigfaltigkeit ist?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt gerade ein etwas einfacheres Beispiel ein als die Schraubenlinie mit einem Geradenstück:
Nimm einfach eine "schiefe Schraubenlinie"; also etwas, was entsteht, wenn man einen Draht um einen schiefen Zylinder aufwickelt. Wenn der Zylinder nicht "zu schief" ist, dann ist die Projektion auf die -Ebene keine Mannigfaltigkeit. Die Mannigfaltigkeit ist aber zusammenhängend und die Abbildung surjektiv.
(Ich hoffe, du verstehst, was ich meine. Augenzwinkern )

Ob man so allgemein noch weitere Bedingungen an oder stellen kann, damit das Bild wieder eine Mannigfaltigkeit ist, weiß ich nicht. Ich vermute, das wird nicht funktionieren. (außer vielleicht solche Sachen wie ; da wäre das Bild eine nulldimensionale Mannigfaltigkeit).
TrolldiRola Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du mit "zu schief" dass nicht mehr konvex ist? - Oder andersherum, forderst du, dass die Projektion konvex ist?

Ohne Schiefstellung würde sich ein Kreis ergeben. Also eine Mannigfaltigkeit.

Mit 90° Verdrehung entsteht eine "Zick-Zack-Linie" , die zumindest in manchen Punkten lokal dem gleicht und evtl eine Mannigfaltigkeit mit Rand darstellt.

Wählt man den Winkel geschickt, so entsteht in meiner Vorstellung als Projektion eine konvexe Menge - meinst du das?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, vergiss den Abschnitt mit zu schief; da hat mich mein dreidimensionales Vorstellungsvermögen etwas getrügt. Augenzwinkern

Ein paar Bilder, was ich meine:
Hier die Mannigfaltigkeit:
[attach]40988[/attach]

Und hier die Projektion auf die x-y-Ebene:
[attach]40989[/attach]
Das ist keine Mannigfaltigkeit.
TrolldiRola Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1

Das ist keine Mannigfaltigkeit.


Das geht aber nur in den Schnittpunkten schief oder? verwirrt (Reicht natürlich, aber diese Beispiel habe ich mir noch nie überlegt)
Dann sehe ich auch was du mit "zu schief" vermutet hast.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, du findest um die Schnittpunkte keine offene Umgebung, die du homöomorph auf eine offene Teilmenge von abbilden kannst.
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