Formel umstellen

22.02.2016, 17:16

Rivago

Formel umstellen

Bin mal wieder da smile

Es ist $\begin{eqnarray*} y = f + x \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f = \frac{F \cdot l^3}{3 \cdot E \cdot I} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = tan\left( \frac{F \cdot l^2}{2 \cdot E \cdot I} \right) \cdot (L - l) \end{eqnarray*}$

Somit also $\begin{eqnarray*} y = \frac{F \cdot l^3}{3 \cdot E \cdot I} + \left( tan\left( \frac{F \cdot l^2}{2 \cdot E \cdot I} \right) \cdot (L - l) \right) \end{eqnarray*}$

Ich brauche die Formel in allgemeiner Form nach F umgestellt, weiß aber nicht wie ich das F aus dem Tangens heraus bekomme.

Kann mir jemand helfen? smile

22.02.2016, 17:27

Steffen Bühler

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RE: Formel umstellen
Es gibt hier leider keine algebraische Lösung. Du könntest den Tangens über eine Reihenentwicklung darstellen, wenn Du mit der Ungenauigkeit leben kannst.

Viele Grüße
Steffen

22.02.2016, 17:29

Rivago

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Mist

Wieso geht das nicht?

Und wie geht das mit der Reihenentwicklung?

22.02.2016, 17:44

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Rivago
Wieso geht das nicht?

Weil es keine geschlossene Formel für die Nullstellen von $\begin{align*} f(x)=a \cdot x+b \cdot \tan(c \cdot x)+d \end{align*}$ gibt.

Zitat:

Original von Rivago
Und wie geht das mit der Reihenentwicklung?

Ich würde mit $\begin{align*} \tan x = x + \frac 13 x^3+ \frac 2 {15} x^5 + \frac {17} {315} x^7+ \dots \end{align*}$ arbeiten:

Du siehst, bis x=0,8 ist der Fehler erträglich, wenn man bei x³ abbricht. Und für kubische Gleichungen gibt es eine geschlossene Formel.

22.02.2016, 17:47

Rivago

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Ich versteh es leider noch nicht verwirrt

Wie würde meine Formel dann jetzt aussehen?

22.02.2016, 17:55

Steffen Bühler

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Na, eben $\begin{align*} y = \frac{F \cdot l^3}{3 \cdot E \cdot I} + \left[ \left( \frac{F \cdot l^2}{2 \cdot E \cdot I} + \frac 13 \cdot \left( \frac{F \cdot l^2}{2 \cdot E \cdot I} \right)^3 \right) \cdot (L - l) \right] \end{align*}$ .

Nur müsstest Du prüfen, ob Dein $\begin{align*} \frac{F \cdot l^2}{2 \cdot E \cdot I} \end{align*}$ auch brav unterhalb 0,8 bleibt. Wenn nicht, müsstest Du den Fehler angeben, der maximal entstehen kann.

22.02.2016, 18:00

Rivago

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Aber wie soll ich das prüfen, wenn ich F nicht kenne (da ich es ja suche)?

Und weiter.. wie stellt man das jetzt geschickt nach F um? Das sieht ja jetzt schon ätzend aus verwirrt

Kannst du mir noch erklären, wieso du bereits bei $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ abbrichst und nicht erst später? Wird es hinten raus (also bei höherer Potenz) genauer oder ungenauer?

22.02.2016, 18:10

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Rivago
Aber wie soll ich das prüfen, wenn ich F nicht kenne

Nachdem Du F über Lösen der Gleichung gefunden hast, kannst Du es prüfen.

Zitat:

Original von Rivago
Und weiter.. wie stellt man das jetzt geschickt nach F um? Das sieht ja jetzt schon ätzend aus

Ist es auch. Das Lösen von Gleichungen dritten Grades hat die Mathematiker Jahrhunderte gequält, bis Cardano eine Formel präsentierte, mit der die Lösungen, wie bei der pq-Formel für quadratische Gleichungen, hingeschrieben werden können.

Zitat:

Original von Rivago
Kannst du mir noch erklären, wieso du bereits bei $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ abbrichst und nicht erst später? Wird es hinten raus (also bei höherer Potenz) genauer oder ungenauer?

Es wird genauer, die Kurven schmiegen sich dann immer mehr aneinander. Aber wenn Du höhere Ordnungen dazunimmst, kommt eine Gleichung fünften oder noch höheren Grades heraus. Und dafür gibt es wieder keine geschlossene Formel mehr.

Wenn alles außer F bekannt ist, könnte man auch mit Näherungsverfahren, z.B. Newton, arbeiten. Aber, wie gesagt, einfach Umstellen mit F=... geht hier nicht.

Vielleicht hat ja noch jemand anders eine Idee.

22.02.2016, 18:25

Rivago

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Okay ich danke dir smile

Kannst du für $\begin{eqnarray*} L = 1000 \ mm \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} l = 20 \ mm \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y = 5 \ mm \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} E = 210000 \ N/mm^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I = 2485 \ mm^4 \end{eqnarray*}$

ein Ergebnis von $\begin{eqnarray*} F = ca. 13000 \ N \end{eqnarray*}$

bestätigen?

22.02.2016, 20:31

Steffen Bühler

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Ja, kann ich.

Viele Grüße
Steffen

PS: hier ist $\begin{align*} \frac{F \cdot l^2}{2 \cdot E \cdot I} \approx 0,005 \end{align*}$ , bei solch kleinen Zahlen kann bei der Reihe sogar das kubische Glied vernachlässigt werden, so dass gilt tanx=x. Das vereinfacht die Sache dann noch etwas mehr. Solange Du also keine Millionenwerte für F erwartest, ist die Funktion recht linear, wie man ja auch an der Grafik sieht.

23.02.2016, 18:05

Rivago

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Ich erwarte für F vllt max. 30000 N

Würde es funktioneren, wenn man den Tangens in sin/cos umschreibt? Kann man dann nach F umstellen?

23.02.2016, 18:23

Dopap

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nein , das verschlechtert eher noch die Situation.

edit: Ich komme numerisch exakt gerechnet auf F=13133.6992929 N

23.02.2016, 21:13

Rivago

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

PS: hier ist $\begin{align*} \frac{F \cdot l^2}{2 \cdot E \cdot I} \approx 0,005 \end{align*}$ , bei solch kleinen Zahlen kann bei der Reihe sogar das kubische Glied vernachlässigt werden, so dass gilt tanx=x.

Meine Formel würde also so aussehen, richtig?

$\begin{eqnarray*} y = \frac{F \cdot l^3}{3 \cdot E \cdot I} + \left( \frac{F \cdot l^2}{2 \cdot E \cdot I} \cdot (L - l) \right) \end{eqnarray*}$

Dopap, mit welchem Verfahren hast du es gerechnet? smile

23.02.2016, 21:20

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Rivago
Meine Formel würde also so aussehen, richtig?

Richtig. Du kannst dann noch ein wenig zusammenfassen und erhältst eine Geradengleichung vom Typ y=m*F, die sich leicht nach F umstellen lässt.

Edit: Gleichung ohne Absolutglied...

23.02.2016, 22:11

Dopap

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mit Verfahren "Taschenrechner Hp 50g" Big Laugh

Ich schreib die Gleichung wie sie dasteht. Dann kommen die Konstanten als Datentyp physikalische Größe ( egal mit welchen Einheiten ! ) in globale Speicher . Irgendwelche bekannte Konstanten wie z.B. 'CONST( G )' ebenso.

Im Menu SOLVEQ gebe ich noch einen Schätzwert für F ein, z.B. 20_kN und wähle

SOLVING for F.

Ich könnte jetzt auch rumspielen und z.B. L auf 3_ft ( 3 englische Fuß ) verändern und nach I fragen.

d.h. man kann in einer Gleichung ohne Umstellung jede Größe berechnen ohne die Gleichung umzustellen, was wie hier auch nicht immer möglich ist.

Übrigens geht das auch mit mehreren Gleichungen und mehreren Unbekannten, dann ist das Menu SOLVMULTIEQ zuständig Big Laugh

gut, das kann dann auch mal 30 s dauern. geschockt

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