Schreibfigur Integral Integrand Differenzial

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Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibfigur Integral Integrand Differenzial
ist meiner Meinung nach korrekt, eine Klammer

ist nicht notwendig.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Dopap,

ja, das sehe ich auch so. Mit Klammer sieht es aber in meinem Empfinden irgendwie runder aus.
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Klammer ist ganz klar entgegen der Intuition des Erfinders und die anschauliche Bedeutung von



Da werden Produkte fuer zwischen und aufsummiert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

005 hat recht.

Eine Klammer ist erforderlich, denn es handelt sich um ein Produkt aus dem Integranden und dem Differential . Ob das Produkt ein echtes Produkt ist, indem man dem Differential einen irgendwie gearteten Sinn gibt (Differentialformen), oder ob man den Ausdruck als formales Produkt auffaßt, ist dabei unerheblich.

Substituieren wir doch einmal im folgenden Integral:



Und wie soll das Ganze ohne Klammer funktionieren?

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

Eine im üblichen Sinne formale Regel anzuwenden, finde ich hier nicht wirklich sinnvoll. Persönlich sehe ich das dx am Ende nur als Information an wo das Integral endet und wonach/wie integriert wird. Also .

Zugegeben ist es naheliegend es als Produkt zu deuten, wenn man das Integral im Riemann-Sinne auffasst, aber selbst das ist ja "veraltet".

Edit: Meine Deutung in schön formuliert von Jacques in 2009:
Klammersetzung bei der Integralrechnung
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist das Problem: daß viele Leute hier nur ein Integralende sehen. Das ist es aber mitnichten.

Und mein Beispiel zeigt ja gerade, daß man am Ende nur mit der Produktauffassung weiterkommt. Was aber zuletzt ein Produkt war, muß es schon am Anfang gewesen sein. Eine Termoperation ändert sich ja durch Substitution nicht. Wenn du im Term aus welchen Gründen auch immer durch substituierst, dann bleibt durch die Substitution das Produkt erhalten: . Man kann natürlich hinterher ein Rechengesetz anwenden: . Aber das könntest du beim Integral auch:



Aber das alles brauche ich dir als erfahrenem Mathematiker doch gar nicht zu sagen.

Zitat:
Original von IfindU
Zugegeben ist es naheliegend es als Produkt zu deuten, wenn man das Integral im Riemann-Sinne auffasst, aber selbst das ist ja "veraltet".


Auch da irrst du. Mit Riemann hat das gar nichts zu tun. Die Differentiale und die Integralschreibweise stammen von Leibniz. Riemann war beinahe zweihundert Jahre später. Riemann hat das Integral nicht erfunden, sondern lediglich eine Deutung gegeben, wie man das Integral bei einem systematischen Aufbau der Analysis auf andere Begriffe zurückführen kann. Auch wäre mir neu, daß Riemann veraltet ist. Riemann ist eine von vielen Deutungen des Integralbegriffs. Das fängt bei Riemann nicht an und hört bei Lebesgue nicht auf.
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde es sinnvoller das Integral als lineare Abbildung aufzufassen. Also
. In dem Sinne würde ich also auch statt bevorzugen, weil das Integral nicht wirklich auf jedem Punkt einzeln agiert.
In dem Sinne wäre dein Beispiel in meinen Augen formal etwas richtiger .

Die ganzen Verkürzungen zu oder sehe ich als Bequemlichkeit für die obere lineare Abbildung. Daher sehe ich nicht wirklich warum die Bequemlichkeit künstlich einschränken sollte.

Bei deinem neuen Beitrag ist es anders, weil ohne das Integralzeichen das natürlicherweise für ein Maß steht, definiert .

Wenn man versucht das aber im Integral unterzubringen, also
mit ein (signiertes) Maß mit , dann stände dort , was ich als wenig sinnvoll erachte.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold

Substituieren wir doch einmal im folgenden Integral:




Eine Merkregel für einen Satz als Rechtfertigung für eine Schreibfigur anzusehen, halte ich nicht für besonders sinnvoll. Formal funktioniert die Subtitutionsregel nicht so, wie du sie hingeschrieben hast, sondern ist ein feststehender Satz, wie man ein Integral in ein anderes transformiert, dabei gibt es auch keine Probleme mit der Schreibweise.

Ansonsten stimme ich IfindU zu, insbesondere die Auffassung des Integrals als linearen Operator und dies:

Zitat:
Die ganzen Verkürzungen zu oder sehe ich als Bequemlichkeit für die obere lineare Abbildung. Daher sehe ich nicht wirklich warum die Bequemlichkeit künstlich einschränken sollte.


spiegeln meine Ansicht wider. Nichtsdestotrotz schreibe ich selbst lieber Klammern dazu, allerdings nur weil es dann, wie bereits gesagt, in meinen Augen runder aussieht.

Edit: Weil ich gerade noch den von IfindU verlinkten Beitrag gelesen habe:

Aus der Sichtweise, das Integral als Integral über eine Differentialform aufzufassen, macht deine Sichtweise natürlich Sinn. Ich sehe aber nicht, inwiefern diese Sichtweise nun der eher funktionalanalytischen Sichtweise, die IfindU vorgestellt hat, überlegen sein soll.
Ich kenne mich nun nicht sehr gut mit Differentialgeometrie aus, von daher berichtige mich, wenn ich falsch liege: Ich denke nicht, dass sich ein Integral auf einem beliebigen Maßraum immer als Integral über eine Differentialform auffassen lässt oder geht das doch?

Insofern sehe ich auch nicht ein, warum die Differentialgeometrie hier die Schreibweise diktieren soll.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

uups, da gab es schon mal einen Thread dazu.

Meine Meinung ( keine Klammer notwendig ) ist rein formal:

es stehen da 2 Symbole und ein Term dazwischen. Was das bedeutet wird in der Definition erklärt.
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Es erklaere mal jemand von den Formalisten und Symbolisten, warum man durch Integration der Dichte ueber ein Volumen die Masse im Volumen bekommt:



Wenn man noch Einheiten beruecksichtigt, dann hat sogar das Differential eine, z.B. Und es kommt nur dann das richtige raus, wenn man hier ein Produkt sieht.

Oder was man unter dem Fluss eines Vektorfeldes durch eine Flaeche zu verstehen hat:



Da ist das Produkt sogar ganz deutlich ein Skalarprodukt.

Oder es erklaere mal jemand anschaulich einem Schueler oder Studenten die Formel fuer ein Rotationsvolumen und mache ihm klar, wie er nach diesem Schema selber eigene Formeln finden kann:



Wenn hier keine Produkt zu sehen ist, dann weiss ich auch nicht.

Noch zu Riemann-Integral veraltet: Man kann auch das Lebesgue-Integral mit Unter-, Ober- und Zwischensummen einfuehren. Man muss dazu im wesentlichen bloss abzaehlbare statt nur endlicher Partitionen zulassen. Die anschauliche Deutung von bleibt voll erhalten. Vgl. Walter, Analysis II (Springer).

Schliesslich noch eine Anregung an alle, die den Geniestreich von Leibniz karikieren wollen. Erfindet doch eure eigene Schreibweise, z.B.:



PS:

Im Zusammenhang mit dem Lesbesgue-Integral hat man die Rechenregel . Warum wohl?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

D.h. man hat . Dann sollte man doch wohl ausmultiplizieren duerfen, also . Nach Transivitaet der Gleichheit also
? Liest man das jetzt oder ? Ist also das Integralzeichen auch multiplikativ? Oder ist das nun Symbolik? Sollte man vlt gar schreiben?

Bei der multiplikativen Ansicht darf man nun erklären, warum die hin und wieder kommutieren wie man gerne in der Physik schreibt, aber oder nie gesehen wird.

Spätestens wenn man Distributionen formal als Integrale schreibt, weil die "kanonischen" Eigenschaften sich von klassischen Dichten schön übertragen, sehe ich wirklich nicht wie das Argument "Man kann dx eine Einheit geben" sich rettet.
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Behandle das Integralzeichen wie ein Summenzeichen (es ist schliesslich auch eines) und das Differential als Faktor der von der Integrationsvariablen (vgl. Summationsindex) abhaengt, dann kommt alles automatisch richtig raus, und es ist klar, wo Klammern hingehoeren und wo nicht. Damit erledigen sich die Deine Verwirrversuche, insbesondere kann man das Differential natuerlich nicht ausserhalb des Integrals schreiben, das ergibt selbst bei gutwilligster Interpretation einen unbestimmten Ausdruck der Form .

Dein



ist entweder Nonsens, oder so zu interpretieren: Das geklammerte Integral ist eine Zahl. bzw. ist im Integral gebunden, also nicht frei, das im zweiten Summanden ist frei und mithin ein anderes. Der zweite Summand ist dann ein zu proportionaler infinitesimaler Zuwachs wie in



Warum die Formel



nicht mit Einheiten funktionieren soll, ist mir schleierhaft. ist die Dichte einer punktfoermigen Einheitsmasse im Nullpunkt, Einheit ist z.B. und wie gehabt. Schwierig ist bloss der "Wert" , aber die Einheiten nicht.
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