Exponent und Basis tauschen

23.02.2016, 09:36

mathe maus

Exponent und Basis tauschen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

mein Sohn hat eben mit den Potenzen angefangen und mir eine dumme Frage gestellt: gibt es Zahlen, bei denen man den Exponent und die Basis tauschen darf? also x hoch y = y hoch X

Meine Ideen:

Er hat auch gleich noch ein Beispiel mitgeliefert, bei dem das funktioniert: 2 hoch 4 = 4 hoch 2

Ich konnte aber keine weiteren finden und würde sagen es gibt auch keine weiteren

23.02.2016, 10:01

gast2303

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RE: Exponent und Basis tauschen
Das ist rein zufällig. Ich wüsste auch keinen weiteren Fall. Nur wenn x=y gilt, geht das immer. Aber das ist trivial. smile

23.02.2016, 10:05

10001000Nick1

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So dumm ist die Frage gar nicht, das hat mich auch lange beschäftigt.

Offenbar gilt diese Gleichung für $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ natürliche Zahlen sein sollen und $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ , dann gibt es keine weitere Lösung außer $\begin{eqnarray*} x=2, y=4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=4, y=2 \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ beliebige positive reelle Zahlen sein dürfen, dann gibt es unendlich viele Lösungen mit $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ . Aber wenn dein Sohn gerade erst mit Potenzen angefangen hat, dürfte ihn das noch nicht interessieren. Augenzwinkern

23.02.2016, 10:26

Nachfrager1234

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"Falls $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ beliebige positive reelle Zahlen sein dürfen, dann gibt es unendlich viele Lösungen mit $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ "

Warum ? Wie lässt sich das beweisen ? An welche Beispiele denkst du ? Ich stehe gerade auf dem Schlauch. verwirrt

23.02.2016, 10:54

10001000Nick1

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Explizit angeben kann man diese Beispiele wohl nicht.

Erstmal bringen wir die Gleichung in eine andere Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{aligned} x^y&=y^x \\ \Leftrightarrow y\cdot \ln(x)&=x\cdot \ln(y) \\ \Leftrightarrow \frac{\ln(x)}{x}&=\frac{\ln(y)}{y} \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Jetzt betrachten wir die Funktion $\begin{eqnarray*} f: (0,\infty)\to\mathbb R, z\mapsto \frac{\ln(z)}{z} \end{eqnarray*}$ .

Aus den Eigenschaften dieser Funktion (Stetigkeit, Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ , Maximalstelle bei $\begin{eqnarray*} z=e \end{eqnarray*}$ , Grenzwerte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z\to\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z\searrow 0 \end{eqnarray*}$ , Monotonie) kann man sehen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} x\in(1,e) \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} y\in (e,\infty) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ .
Und man sieht auch: Falls die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^y=y^x \end{eqnarray*}$ für zwei verschiedene positive reelle Zahlen erfüllt ist, dann ist genau eine davon im Intervall $\begin{eqnarray*} (1,e) \end{eqnarray*}$ , die andere im Intervall $\begin{eqnarray*} (e,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Das hat mich damals ziemlich erstaunt, dass hier plötzlich die Zahl $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ins Spiel kommt. Augenzwinkern

23.02.2016, 11:01

Nachfrager1234

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Vielen Dank, sehr interessant.
Damit dürfte der Schüler aber völlig überfordert sein und das Ergebnis nicht in seinem Sinne sein.
Er meint sicher natürliche Zahlen. Vom Logarithmus hat er wohl noch nicht gehört, wenn er gerade erst mit Potenzen anfängt. Augenzwinkern

23.02.2016, 12:25

MAthe Maus

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Hallo zusammen,

vielen Dank für die Antworten.

Die einfache Variante nehme ich für meinen Sohn, aber persönlich fand ich die Erklärung von Nick sehr interressant, wenn ich ihr auch nur teilweise folgen kann - Mathe ist einfach zu lange her.

Ich habe dann auch noch mal bißchen nachgedacht und überlegt, wie ich mit meinen bescheidenen Möglichkeiten der Lösung näher kommen kann und bin auf folgende Idee gekommen:

Annahme: $\begin{eqnarray*} x = n*y \end{eqnarray*}$

Dann bekomme ich aus $\begin{eqnarray*} x^{y} = y^{x} \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} n*y^{y} = y^{y*n} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die dann umrechne folgt: $\begin{eqnarray*} y = \sqrt[n-1]{n} \end{eqnarray*}$

Und in diese Gleichung könnte ich dann der Reihe nach beliebige Werte für n setzten und bekomme so dann entsprechend die Lösungspaare.

Liege ich mit meiner Idee richtig oder habe ich da einen Wurm drin?

23.02.2016, 22:03

10001000Nick1

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Ich habe in deiner Antwort Latex-Klammern eingefügt. Latex-Code muss zwischen

code:
1:	[latex] ... [/latex]

gesetzt werden, damit die Formeln angezeigt werden.

Deine Umformungen stimmen leider nicht. Wenn $\begin{eqnarray*} x=n\cdot y \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt: $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{(}n\cdot y\textcolor{red}{)}^y=y^{n\cdot y} \end{eqnarray*}$ .

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