Mehrdimensionale Differentialrechnung

23.02.2016, 17:45

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Mehrdimensionale Differentialrechnung

Hallo,

angenommen $\begin{eqnarray*} f: X \to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} X \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist ja $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ ein Vektor: $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber auch $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{pmatrix} f_1(x) \\ f_2(x) \\ f_3(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Vektor natürlich.

Und dann kann man die Funktion f(x) nach den Variablen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ableiten. Was wiederum heißt, dass man $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ somit nach vorher erwähnten Variablen ableiten kann und diese Ableitungen sind die Einträge der Jacobi-Matrix.

Habe ich das so richtig verstanden?

Gruß
abstract

23.02.2016, 21:48

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RE: Mehrdimensionale Differentialrechnung
das stimmt.

24.02.2016, 15:49

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RE: Mehrdimensionale Differentialrechnung
Und die Jakobi-Matrix kann man dann ja auch folgendermaßen als Zeilenvektor schreiben:

$\begin{eqnarray*} J(x_0)=f'(x_0)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} & \frac{\partial f}{\partial x_3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jeder Eintrag vom obigen Zeilenvektor, kann man irgendwie auch als "Vektor" sehen, um halt die Jacobi-Matrix zu vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1} = \begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f_3}{\partial x_1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist ja in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und somit ein Vektor mit den Komponenten $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ . Das ist der ganze "clue" dahinter oder?

Und diese verkürzte Jacobi-Matrix, oder Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ ist dann einfach der Gradient $\begin{eqnarray*} grad f(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Aber eigentlich gibt es den Gradienten nur für Funktionen, deren Zielbereich im Eindimensionalen liegt laut VL zumindest. Hmm, was ist hier falsch, müsste eig. stimmen, da verkürtze Jacobi-Matrix und Gradient ja gleich aussehen, oder?

24.02.2016, 21:06

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RE: Mehrdimensionale Differentialrechnung
Der Gradient ist ein Spaltenvektor, deine "verkürtze Jacobi-Matrix" ist ein Zeilenvektor. Sie sehen also mitnichten gleich aus. Wenn du den Zeilenvektor $\begin{eqnarray*} grad f(x_0)^T \end{eqnarray*}$ betrachtest, sehen die zwar gleich aus, aber das liegt daran, dass du die Schreibweise überladen hast (außer im Fall einer reellwertigen Funktion).

Das ist wie bei dem Produkt zweier Funktionen $\begin{eqnarray*} fg \end{eqnarray*}$ , das du einmal als
$\begin{eqnarray*} fg: x\mapsto f(x)g(x) \end{eqnarray*}$ definierst, also wieder als Funktion
und dann als $\begin{eqnarray*} fg:=\int f(x)g(x)dx \end{eqnarray*}$ , also als Zahl.

Beidesmal steht $\begin{eqnarray*} fg \end{eqnarray*}$ da

25.02.2016, 16:00

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Hmm, ich hab etwas in meinem Skriptum dazu gefunden.

Da steht, dass $\begin{eqnarray*} grad f(x) = f'(x)^T \end{eqnarray*}$ gilt. Also ist es doch dasselbe? Und nur das es den Gradiente nur für Funktionen $\begin{eqnarray*} f: X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt.

Also stimmt das so jetzt?

25.02.2016, 19:35

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Nichts anderes habe ich hier

Zitat:

Wenn du den Zeilenvektor $\begin{eqnarray*} grad f(x_0)^T \end{eqnarray*}$ betrachtest, sehen die zwar gleich aus, aber das liegt daran, dass du die Schreibweise überladen hast (außer im Fall einer reellwertigen Funktion).

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