Mittelwertbeweis

23.02.2016, 20:31

Igorino

Mittelwertbeweis

Meine Frage:
Hallo, mit den Werten $\begin{eqnarray*} \left(x_{1},x_{2},...,x_{N} \right) \end{eqnarray*}$ und dem Mittelwert für j= 1,...,N: $\begin{eqnarray*} mean(x_{j})= \frac{\sum\limits_{i=1}^{j} x_{i} }{j} \end{eqnarray*}$
Sowie der Varianz
$\begin{eqnarray*} s_{j} ^{2} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{j} \left(x_{i}-mean(x_{j}) \right) ^{2} }{j-1} \end{eqnarray*}$
soll gezeigt werden das für j = 1,...,N-1
$\begin{eqnarray*} mean(x_{j+1})= mean(x_{j})+\frac{x_{j+1} }{j+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{j+1} ^{2} = \left(1-\frac{1}{j} \right) s_{j} ^{2}+\left(j+1\right)\left(mean(x_{j+1})-mean(x_{j})\right) \end{eqnarray*}$
gilt.

Meine Ideen:
Kann mir jemand einen Tipp geben? ich habe zunächst versucht den Mittelwert in die Formel für die Varianz einzusetzten. Das brachte mich aber nicht weiter...
desweiteren: Kann man ein Mittelwerts strich mit dem Formeleditor machen?

Danke euch smile

23.02.2016, 23:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Igorino
soll gezeigt werden das für j = 1,...,N-1
$\begin{eqnarray*} mean(x_{j+1})= mean(x_{j})+\frac{x_{j+1} }{j+1} \end{eqnarray*}$

Das ist i.a. falsch. unglücklich

Und Formel

Zitat:

Original von Igorino
$\begin{eqnarray*} s_{j+1} ^{2} = \left(1-\frac{1}{j} \right) s_{j} ^{2}+\left(j+1\right)\left(mean(x_{j+1})-mean(x_{j})\right) \end{eqnarray*}$

ist schon maßeinheitenmäßig sowas von daneben. unglücklich

--------------------------------

Richtig ist

$\begin{align*} m_{j+1} = \frac{jm_j + x_{j+1}}{j+1} \end{align*}$ und $\begin{align*} s_{j+1}^2 = \left(1-\frac{1}{j}\right) s_j^2 + \frac{1}{j+1} \left(x_{j+1}-m_j\right)^2 \end{align*}$

mit $\begin{align*} m_j = \operatorname{mean}(x_j) \end{align*}$ (die mean(...)-Bezeichnung finde ich etwas unglücklich, weil sie suggeriert, der Mittelwert würde nur vom letzten Wert $\begin{align*} x_j \end{align*}$ abhängen statt von $\begin{align*} x_1,\ldots,x_j \end{align*}$ ).

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