Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion |
| 23.02.2016, 21:00 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion Hallo zusammen ;-) Gerade sitze ich dabei die Lösung einer Aufgabe nachzuvollziehen... Die Aufgabe sieht wie folgt aus: [attach]40997[/attach] Meine Ideen: Nach ein paar Bemerkungen die unser Tutor gemacht hat, haben wir das gegebene m etwas umgeformt zu: Soweit so gut. Jetzt haben wir und ein x aus dem R^3 genommen und |x|:=z und g(x)= g(0,0,z). Das letzte "=" kommt doch im Prinzip durch die Translationsinvarianz, oder? (Das kann man zeigen) Mein eigentliches Problem ist nun folgende Umformung: [attach]40999[/attach] Im Zähler steht auf jeden Fall die Determinante der partiellen Ableitungen meiner Kugeltransformation und im Nenner steht doch irgendwie so etwas: |x,y,0| oder bin ich falsch? Ich kann nicht nachvollziehen wie hier eingesetzt wurde...eigentlich dachte ich man setzt für x=(0,0,z) und eben die entsprechende Kugeltransformation....Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen? Vielen Dank schon einmal! |
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| 23.02.2016, 21:24 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion Steht im Nenner nicht einfach |y-x| ? |
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| 23.02.2016, 21:33 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion Eigentlich sollte im Nenner ja |x-y| stehen, so sagt es ja die Aufgabenstellung... Ich mache ja folgende Transformation: x=rcos(phi)sin(theta), y=rsin(phi)sin(theta), z=rcos(theta)... Wie würde denn mein g(0,0,z) aussehen mit der Transformation? Ich komme nämlich irgendwie immer noch nicht auf die Umformung... 
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| 23.02.2016, 21:43 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion was ist denn der Unterschied zwischen |x-y| und |y-x|? Ich denke, du bist auf dem ganz falschen Dampfer. Wegen der Rotationsinvarianz kann man ohne Einschränkung annehmen, dass x=(0,0,z) ist, d.h. auf der z-Achse liegt. Integriert wird dann bzgl y und das wird in Kugelkoordinaten ausgedrückt. |
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| 23.02.2016, 21:52 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion Ja, zwischen |x-y| und |y-x| gibt es keinen Unterschied... Und ja, ich bin auf dem ganz falschen Dampfer...die Funktion g muss nach y integriert werden, ja das sagt ja die Aufgabe... Mein Problem ist jetzt allerdings immer noch, dass ich die Umformung einfach nicht sehe...nach der Umformung steht doch |(rcos(phi)sin(theta), rsin(phi)sin(theta), rcos(theta)-z| im Nenner...und mit der Transformation die ich eben aufgeschrieben habe ist das doch einfach |(x,y,0)|, oder bin ich jetzt ganz doof? Sorry, aber ich kann irgendwie nicht folgen wenn x=(0,0,z) d.h. g(x)=g(0,0,z) wie ich dann auf dieses Integral komme...vielleicht stelle ich mich ein wenig doof an, aber ich saß schon gestern eine Weile vor der Aufgabe und ich kann es dummerweise immer noch nicht nachvollziehen... Es gilt doch |x-y| = rsin(theta)...warum wollte das das gleiche sein wie der Nenner in der Umformung? |
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| 23.02.2016, 21:54 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion was ist überhaupt g ? Das taucht irgenwo uninspiriert auf und sehe keinen Zusammenhang zur Aufgabe |
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| 23.02.2016, 21:57 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion Oh sry, das g ist das in der Aufgabe definierte Integral: [attach]41004[/attach] |
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| 23.02.2016, 22:05 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion in |y-x| wird nur x=(0,0,z) und y in Kugelkorodinaten eingesetzt. Mehr passiert da nicht. |
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| 23.02.2016, 22:12 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion Es tut mir wirklich leid wenn ich zu doof zum einsetzen bin, aber ich stehe immer noch auf dem Schlauch: [attach]41005[/attach] Das ist falsch oder? (Das soll ja auch nicht rauskommen) |
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| 23.02.2016, 22:21 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion das ist doch genau der gewünschte Ausdruck. Du hast den Vektor als Spaltenvektor geschrieben, in der Darstellung von g(0,0,z) ist es ein Zeilenvektor. Aber für den Betrag macht das keinen Unterschied. Edit: Aaah, jetzt sehe ich es erst. Du musst schon alle drei Komponenten von y in Kugelkoordinaten schreiben. Das y ist hier ein Vektor im R^3 und nicht die y-Komponente eines Vektors |
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| 23.02.2016, 22:25 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion In meiner Lösung steht aber das: [attach]41007[/attach] |
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| 23.02.2016, 22:27 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion Ja genau, das war das Problem xD Okay, dann ist der Nenner klar ;-) und mein f(y) wäre ja dann: [attach]41008[/attach] Warum kommt da dann f(r) heraus? |
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| 23.02.2016, 22:33 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Formelbeweis für rotationsinvariante Funktion Weil f rotationsinvariant ist hängt der Funktionswert nur vom Abstand ab. Ja, das ist schlampig aufgeschrieben, weil f eigentlich einen Vektor als Argument erwartet, aber diese Schlamperei ist üblich. |
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| 23.02.2016, 22:36 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen lieben Dank für deine Geduld...du musst Nerven wie Drahtseile haben ;-) Nur noch eine kurze letzte Frage: Wenn etwas rotationsinvariant (also ich gehe jetzt von f(Tx)=f(x) aus) ist heißt das immer dass x=0,0,z oder kann es zum Beispiel sein dass x=0,y,0? Sorry, aber ich habs dafür absolut kein Vorstellungsvermögen
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| 23.02.2016, 22:46 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Idee dahinter ist eine ganz andere. Zunächst sollst du g(x) für einen beliebigen Vektor berechnen. Das Integral kann man in aller Regel nicht berechnen. Jetzt kommt die Rotationsinvarianz von f ins Spiel. Sie erlaubt es dir, das Koordinatensystem so zu drehen, dass x die - hier besonders günstige - Form x=(0,0,z) hat, also in Richtung der z-Achse zeigt. Für eine andere Rechnung wäre es vielleicht günstiger, wenn der Vektor x in Richtung der y-Achse des Koordinatensystems zeigt. Dann dreht man das Koordinatensystem eben so, dass x die Form x=(0,1,0) hat. Das alles geht aber nur, weil f rotationssymmetrisch ist (der Betrag im Nenner ist es sowieso, Drehungen zählen nicht umsonst zu den Isometrien) |
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| 23.02.2016, 22:49 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, das muss ich mal noch in aller Ruhe verdauen, aber das klingt zunächst einmal logisch...vielleicht muss ich mir auch einfach mal noch ein paar mehr Aufgaben anschauen! Ich danke dir auf alle Fälle sehr für deine Hilfe! Und für die tollen Erklärungen! 
Einen schönen Abend noch!!! 
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| 23.02.2016, 22:51 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
auch einen schönen Abend
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