Vektorintegral

23.02.2016, 22:07

Norri

Vektorintegral

Meine Frage:
Hallo und erst einmal sorry für den unglücklich gewählten Titel.

Edit (mY+): Titel modifiziert und Thread verschoben.

Mein problemchen ist vermutlich ganz einfach...

Ich habe hier ein Integral, wobei es nicht wirklich um das Integral selbst geht, sondern um eine Umformung darin.

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! (\vec{x} \, d\vec{x} )/x^3=\int_{a}^{b} \! 1 \, dx /x^2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ein Vektor dividiert durch seine Länge ein Einheitsvektor ergibt. Diesen dann multipliziert mit dem $\begin{eqnarray*} d\vec{x} \end{eqnarray*}$ , sollte dann laut Umformung einfach nur dx ergeben. Genau das verstehe ich nicht.

24.02.2016, 10:33

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst folgendes Kurvenintegral umformen

$\begin{eqnarray*} \int \tfrac{\vec x}{x^3}\,d\vec x \end{eqnarray*}$ __________________________________________________Formel 1

Schreibe den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ als Produkt seines Einheitsvektors $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ und seines Betrages x, also

$\begin{eqnarray*} \vec x=\vec n\cdot x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec n=\tfrac{\vec x}{x} \end{eqnarray*}$ _______________________________________Formel 2

Differenziere dies mittels Produktregel nach dem Betrag x.

$\begin{eqnarray*} \tfrac{d\vec x}{dx}=\tfrac{d\vec n}{dx}\cdot x+\vec n \end{eqnarray*}$

Umstellen liefert das Differenzial $\begin{eqnarray*} d\vec x \end{eqnarray*}$ in Formel 1

$\begin{eqnarray*} d \vec x=(\tfrac{d\vec n}{dx}\cdot x+\vec n)\, dx \end{eqnarray*}$ ____________________________________Formel 3

Ersetze im Integranden von Formel 1 den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ mit Formel 2 und das Differenzial $\begin{eqnarray*} d\vec x \end{eqnarray*}$ mit Formel 3. Das ergibt

$\begin{eqnarray*} \int \tfrac{\vec n}{x^2}\cdot \underbrace{(\tfrac{d\vec n}{dx}\cdot x+\vec n) \,dx}_{d\vec x} \end{eqnarray*}$

Beim Ausmultiplizieren des Integranden verschwindet das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec n\cdot \tfrac{d\vec n}{dx}=0 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ ist ein Einheitsvektor, so dass die Ableitung des Betragsquadrat von $\begin{eqnarray*} \vec n^2=1 \end{eqnarray*}$ verschwinden muss, also $\begin{eqnarray*} 2\vec n\cdot \tfrac{d\vec n}{dx}=0 \end{eqnarray*}$ . Somit bleibt beim Ausmultiplizieren des Integranden folgendes übrig

$\begin{eqnarray*} \int \tfrac{\vec n}{x^2}\cdot \vec n\,\,dx \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ ein Einheitsvektor ist, gilt $\begin{eqnarray*} \vec n^2=1 \end{eqnarray*}$ . Also bleibt das Gewünschte übrig

$\begin{eqnarray*} \int \tfrac{1}{x^2}\,dx \end{eqnarray*}$

24.02.2016, 10:58

Norri

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die sehr saubere Erklärung! Hab es soweit verstanden, bis auf den Ausdruck im vorletzten Absatz

$\begin{eqnarray*} 2\vec%20n\cdot%20\tfrac{d\vec%20n}{dx}=0 \end{eqnarray*}$

Ich komm leider nicht drauf?

24.02.2016, 12:03

Norri

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte mal noch das Integral ohne Umformung ausrechnen, weil ich mal mit Vektoren integrieren wollte und zu schauen ob dasselbe herauskommt.

Das umgeformte Integral liefert mit den Integrationsgrenzen x und unendlich:

$\begin{eqnarray*} \int_{\infty}^{x} \! \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Das nicht umgeformte Integral liefert bei mir:

$\begin{eqnarray*} \int_{\infty}^{x} \! \frac{\vec{x}}{x^3} \, d\vec{x} = \int_{\infty}^{x} \! \frac{1}{x^3} (x_1 x_2 x_3)\cdot (dx_1 dx_2 dx_3)\, dx = \newline \int_{\infty}^{x} \! \frac{x_1}{x^3} \, dx_1+\int_{\infty}^{x} \! \frac{x_2}{x^3} \, dx_2+\int_{\infty}^{x} \! \frac{x_3}{x^3} \, dx_3= \left[\frac{1}{2}\frac{x_1^2}{x^3}\right]_{\infty}^{x} +\left[\frac{1}{2}\frac{x_2^2}{x^3}\right]_{\infty}^{x} +\left[\frac{1}{2}\frac{x_3^2}{x^3}\right]_{\infty}^{x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann die Integrationsgrenzen einsetze, dann kommt nicht dasselbe raus. Was mache ich falsch?

24.02.2016, 14:02

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

@Norri
---------------------------------------------------------------------------------
Zu deiner Frage, warum gilt $\begin{eqnarray*} \vec n\cdot \tfrac{d\vec n}{dx}=0 \end{eqnarray*}$

Antwort:
Wie gesagt ist $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ ein Einheitsvektor. Das Betragsquadrat hat also überall den Wert $\begin{eqnarray*} 1=\vec n^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn man diese Gleichung differenziert, bekommt man $\begin{eqnarray*} 0=2\vec n\cdot \tfrac{d\vec n}{dx} \end{eqnarray*}$ . Also stehen die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tfrac{d\vec x}{dx} \end{eqnarray*}$ überall senkrecht.

-----------------------------------------------------------------------------------
Zu deiner Rechnung:

Antwort:
Deine Rechnung ist leider unrichtig. Die Variable x³ im Nenner des Integranden bedeutet die 3.Potenz des Betrages des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} x^3=|\vec x|^3=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}^3 \end{eqnarray*}$

Deshalb ist die Integration komplizierter als in deiner Rechnung.
-----------------------------------------------------------------------------------
Man kann das Integral aber trotzdem einfacher berechnen wie folgt:

In deinem speziellen Fall ist der Integrand $\begin{eqnarray*} \tfrac{\vec x}{|\vec x|^3} \end{eqnarray*}$ als Gradient der skalaren Funktion $\begin{eqnarray*} f=-\tfrac{1}{|\vec x|} \end{eqnarray*}$ darstellbar, also

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\vec x}{|\vec x|^3}=-\nabla \tfrac{1}{|\vec x|}=-\nabla \tfrac{1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}} \end{eqnarray*}$

Rechne das mal nach! Diese Funktion f heißt "Potenzialfunktion". In solchen Fällen muss man gar nicht integrieren, sondern das Kurvenintegral ist einfach die Differenz der Potenzialfunktion bezüglich Anfangs- und Endpunkt

$\begin{eqnarray*} \int_{\vec x_1}^{\vec x_2}\tfrac{\vec x}{x^2}\,d\vec x=\tfrac{1}{|\vec x_1|}-\tfrac{1}{|\vec x_2|} \end{eqnarray*}$

Falls ihr das noch nicht behandelt habt, kommt es in Bälde (Stichwort: Potenzialfunktion)

24.02.2016, 15:31

Norri

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\vec%20x}{|\vec%20x|^3}=-\nabla%20\tfrac{1}{|\vec%20x|}=-\nabla%20\tfrac{1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}} \end{eqnarray*}$
Rechne das mal nach!

Das habe ich mal:

$\begin{eqnarray*} -\nabla%20\tfrac{1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}=-( \tfrac{\partial\tfrac{1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}}{\partial x_1},\tfrac{\partial\tfrac{1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}}{\partial x_2},\tfrac{\partial\tfrac{1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}}{\partial x_3})=(\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}^3} , \frac{x_2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}^3} , \frac{x_3}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}^3})=\frac{\vec{x} }{|\vec{x}^3| } \end{eqnarray*}$

Das ist soweit alles klar!

Zitat:

Zu deiner Frage, warum gilt $\begin{eqnarray*} \vec n\cdot \tfrac{d\vec n}{dx}=0 \end{eqnarray*}$

Antwort:
Wie gesagt ist $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ ein Einheitsvektor. Das Betragsquadrat hat also überall den Wert $\begin{eqnarray*} 1=\vec n^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn man diese Gleichung differenziert, bekommt man $\begin{eqnarray*} 0=2\vec n\cdot \tfrac{d\vec n}{dx} \end{eqnarray*}$ . Also stehen die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tfrac{d\vec x}{dx} \end{eqnarray*}$ überall senkrecht.

Sorry, aber ich versteh es immer noch nicht. Ich sehe nicht wo die 2 herkommt. Kannst du mir bitte die Schritte dazwischen zeigen?

25.02.2016, 08:54

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe einfach die Gleichung $\begin{eqnarray*} 1=\vec n^2 \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten nach dem Betrag $\begin{eqnarray*} x=|\vec x| \end{eqnarray*}$ differenziert, also

$\begin{eqnarray*} (1)'=(\vec n \cdot \vec n)' \end{eqnarray*}$

Die linke Seite verschwindet. Auf der rechten Seite muss man die Produktregel $\begin{eqnarray*} (uv)'=u'v+v'u \end{eqnarray*}$ verwenden, also

$\begin{eqnarray*} 0=(\vec n\cdot \vec n)'=\vec n'\cdot n+n\cdot \vec n'=2\vec n\cdot \vec n' \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Vektorintegral

Verwandte Themen