Interpretation : Differential einer multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilung

23.02.2016, 22:22	FaustFrankenstein	Auf diesen Beitrag antworten »
Interpretation : Differential einer multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilung Meine Frage: Hallo Forum, seien $\begin{eqnarray} <br /> X, Y <br /> \end{eqnarray}$ zwei Zufallsvariablen mit zugehöriger bivariater Dichtefunktion $\begin{eqnarray} <br /> f_{X,Y}<br /> \end{eqnarray}$ und marginalen Dichten $\begin{eqnarray} <br /> f_{X},f_{Y}, <br /> \end{eqnarray}$ alles stetig und verhält sich wohl. Nun gilt $\begin{eqnarray} <br /> \mathbb P[X \leq x, Y \leq y]=F_{X,Y}(x,y)= \int_{- \infty}^y \int_{- \infty}^x f_{X,Y}(\eta,\nu) d\eta d\nu <br /> \end{eqnarray}$ Frage : Was geschieht nun, wenn ich $\begin{eqnarray} \mathbb P[X \leq x, Y \leq y] \end{eqnarray}$ bezüglich nur einer Variablen, sei es $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , ableite, also $\begin{eqnarray} <br /> \partial_x \mathbb P[X \leq x, Y \leq y]<br /> \end{eqnarray}$ bilden will? Mir ist nicht klar, was $\begin{eqnarray} \partial_x F_{X,Y}(x,y) \end{eqnarray}$ bedeuten soll, bzw. was das Integral der bivariaten Dichte bezgl. $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist, wenn nur bis $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ integriert wird, also $\begin{eqnarray} \int_{\infty}^x f_{X,Y}(\eta,\nu) d\eta . \end{eqnarray}$ ("Ich weiss nicht, was soll es bedeuten") Der Ausdruck $\begin{eqnarray} \partial_x F_{X,Y}(x,y) \end{eqnarray}$ ergibt für mich maßtheoretisch wenig Sinn, da ich zum einen bezgl. $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine Dichte in einem Punkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ erhalten sollte, aber zum anderen bezgl. $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung habe. Die Frage ist durch ein Paper [1] motiviert, welches in Gleichung (4) auf Seite 2 solch eine Ableitung verwendet. [1] Nils Blomqvist - On a Measure of Dependence between two Random Variables https://projecteuclid.org/download/pdf_1...aoms/1177729754 Meine Ideen: Die unteren Integralgrenzen geb' ich mit $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ an. $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\partial F_{X,Y}(x,y)}{\partial x} &= lim_{\Delta x \to 0} \frac{F_{X,Y}(x + \Delta x,y) - F_{X,Y}(x,y)}{\Delta x} <br /> &= lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left[ \int_{b}^y \int_{a}^{x + \Delta x} f_{X,Y}(\eta,\nu) d\eta d\nu - \int_{b}^y \int_{a}^x f_{X,Y}(\eta,\nu) d\eta d\nu \right] <br /> &= lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \int_{b}^y \left[ \int_{a}^{x + \Delta x} f_{X,Y}(\eta,\nu) d\eta - \int_{a}^x f_{X,Y}(\eta,\nu) d\eta \right] d\nu<br /> &= lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \int_{b}^y \int_{x}^{x + \Delta x} f_{X,Y}(\eta,\nu) d\eta d\nu \end{eqnarray}$ Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gilt nun $\begin{eqnarray} <br /> \int_{x}^{x + \Delta x} f_{X,Y}(\eta,\nu) d\eta = f_{X,Y}(x + \theta \Delta x,\nu)\Delta x , \theta \in [0,1]<br /> \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\partial F_{X,Y}(x,y)}{\partial x} = lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \int_{b}^y f_{X,Y}(x + \theta \Delta x,\nu)\Delta x d\nu = \int_{b}^y f_{X,Y}(x,\nu) d\nu <br /> \end{eqnarray}$ also sollte $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\partial F_{X,Y}(x,y)}{\partial x} = \int_{b}^y f_{X,Y}(x,\nu) d\nu = \mathbb P[X = x, Y \leq y]<br /> \end{eqnarray}$ aber was das bzgl einer Verteilungsfkt bedeutet, ist noch nicht klar - denn es müsste ja eine "halbwegs" differenzierte Verteilungsfkt sein.

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