Peano Axiome und ungerade bzw. gerade Zahlen

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leoclid Auf diesen Beitrag antworten »
Peano Axiome und ungerade bzw. gerade Zahlen
Hier ist die Aufgabe:

Zu zeigen:
Jede natürliche Zahl erfüllt genau eine dieser Eigenschaften:
ist gerade
ist ungerade


Hier meine Idee:

Beweis über vollständige Induktion:

Induktionsanfang:
0 ist gerade und 0 ist nicht ungerade, denn offensichtlich ist 0 = 0 + 0 und da es keine natürliche Zahl gibt, deren Nachfolger 0 ist, gibt es keine natürliche Zahl mit 0 = a +a + 1, weswegen 0 nicht ungerade ist.

Induktionsschritt:
Teil 1: Für jede natürliche Zahlen ist mindestens eine Eigenschaft erfüllt.
Sei n gerade. Dann gibt es eine natürliche Zahl mit n = a + a.
Dann ist n+1 = a + a + 1 und damit ist n+1 ungerade.
Sei n ungerade. Dann gibt es eine natürliche Zahl mit n = a + a +1.
Dann ist n+1 = a + a + 1 +1 = a + 1 + a +1 = (a+1) + (a+1) = a' + a' gerade.

Teil 2: Für jede natürliche Zahl sind nicht beide Eigenschaften erfüllt.
Offentsichtlich ist für 0 nur eine Eigenschaft erfüllt.
Beweis über Induktion:
Angenommen für ein n sind beide Eigenschaften erfüllt.
Dann ist n = a +a +1 und n = b+b.
Dann ist n-1 = a +a und n-1 = b + b - 1 = (b-1) + (b-1) + 1.

War der Beweis zu schlampig oder ist das Okay so??
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du derart elementare Dinge beweisen willst, dann sicher ja unter (bis dahin) eingeschränkten Wissen um die Eigenschaften der natürlichen Zahlen (nur Peano-Axiome, oder doch schon ein bisschen mehr...). Insofern kann man deinen Beweis erst dann mit "Ok" abnicken, wenn man weiß, dass du dich in deiner Argumentation im Rahmen dieser Kenntnisse bewegt hast.

Z.B. verwendest du bei Kommutativität und Assoziativität der Addition - wenn ihr das vorher alles gezeigt habt, dann Ok. Außerdem ist mir nicht bekannt, wie ihr "gerade" und "ungerade" erstmal überhaupt definiert habt - da sind ja in der Formulierung durchaus unterschiedliche Vorgehensweisen denkbar.
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