Integralberechnung über S^2

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AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »
Integralberechnung über S^2
Meine Frage:
Hallo zusammen ;-)

Wir hatten im Tutorium vor ein paar Wochen die Aufgabe folgendes Integral zu berechnen:


Meine Ideen:
Das Durchrechnen der Aufgabe bereitet mir in der Regel keine Probleme, wählt man aber eine falsche/ ungeschickte Parametrisierung, dann hat man ein Problem...
Wir hatten folgendes gewählt:
x:=cos(phi)sin(theta)
y:=sin(phi)sin(theta)
z:=cos(theta)

Das sind ja gerade die Kugelkoordinaten ohne den Faktor "r"

Jetzt meine Frage: Wieso wird der Faktor "r" hier weggelassen? Also ich hätte hier einfach die "normalen" Kugelkoordinaten eingesetzt und dann hätte ich ein Problem mit dem Radium bekommen, denn im Integral würde dann etwas mit r^8 stehen...

Hat jemand eine Idee wieso die Parametrisierung so gewählt wurde und auf was ich bei der Wahl in der Regel achten muss?

Vielen lieben Dank schon einmal an alle!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Radius von ist .
Also steht das eigentlich doch da: usw. Augenzwinkern

Und da du nur über die Kugeloberfläche integrierst, ist eine Konstante; es wird also nicht am Ende noch über integriert, wie man das beim Integrieren über eine Kugel macht.
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ja klar ;-)
Zu der Aufgabe hätte ich allerdings noch eine kleine Frage:
Wir haben dann die Gramsche Matrix bestimmt und davon die Determinante und dann die Wurzel der Determinate genommen....
Da kommt bei mir das gleiche raus, wie wenn ich die Partiellen Ableitungen der Parametrisierungen bilde, davon das Kreuzprodukt und davon die Norm...
Ist das immer so, also gilt:
[attach]41010[/attach]
Bzw. wenn es nicht immer gilt, wann ist die Aussage gültig?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Gleichheit ist ein Spezialfall der Lagrange-Identität
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das hilft mir auf alle Fälle weiter.

Im Umkehrschluss bedeutet das aber auch, dass wenn ich ein Volumen berechnen will, ich das immer mit der Jacobi-Determinante machen sollte, oder? (Da bin ich auf alle Fälle auf der sicheren Seite...)
Oder gibt es Spezialfälle, an denen man die Gramsche Matrix verwendet (außer wenn es sowieso egal ist weil der Spezialfall gilt)?

Vielen lieben Dank für die Mühe!
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde die Jacobi-Determinante nehmen. Es gibt Fälle, in denen es die Gramsche sein muss.
Auch hier hätte dir google bzw. wikipedia geholfen Funktionaldeterminante
 
 
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön!!!!
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