Satz von Stokes - Integral ohne Normalenvektor?

24.02.2016, 12:35	thehoffmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Stokes - Integral ohne Normalenvektor? Hallo! ich habe eine Verständnisfrage die sich auf den Satz von Stokes bezieht. Der Satz von Stokes (die Linke Seite) ist in meinem Skript durch das Integral $\begin{eqnarray} \int_{S} \! rotf(x)\cdot v(x) \, do \end{eqnarray}$ gegeben. In der Aufgabenstellung wird verlangt, die Rotation eines gegebenen Vektorfeldes f zu bestimmen, und zwar das Integral $\begin{eqnarray} \int_{S} \! rotf(x) \, do \end{eqnarray}$ . Die zu benutzende Fläche ist gegeben, die Parametrisierung $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ habe ich bestimmt. In der Musterlösung wird nun $\begin{eqnarray} \int_{S} \! rotf(x) \, do=\int_{P} \! rotf(x)\cdot v(x) \, do \end{eqnarray}$ gesetzt. Meine Frage ist nun, weshalb der Normalenvektor beim Ausgangsintegral über die gegebene Fläche nicht berücksichtigt wird. Vielen Dank für eure Mühe!
24.02.2016, 13:28	thehoffmann	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube, ich habe den Fehler gefunden. Die linke Seite muss richtig heißen: $\begin{eqnarray} \int_{S} \! rotf(x)\cdot \, do \end{eqnarray}$ , was außerdem gleich $\begin{eqnarray} \int_{S} \! rotf(x)\cdot \,v(x) do \end{eqnarray}$ sein soll (Normalkomponente des Vektorfeldes). Mir erschließt sich leider trotzdem nicht, wieso die beiden Integrale gleich sind.
24.02.2016, 14:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll man groß sagen zu einem derartigen Formelsammelsurium, wo allem Anschein nach ein- und dasselbe Symbol in verschiedenen Bedeutungen benutzt wird? In $\begin{align} \int_S \operatorname{rot} f(x)\cdot \dd o \end{align}$ ist $\begin{align} \dd o \end{align}$ anscheinend das vektorielle Flächenelement, d.h. der Betrag $\begin{align} \|\dd o\| \end{align}$ ist der (differentielle) Flächeninhalt dieses Elements und seine Richtung ist die Flächennormale. In $\begin{align} \int_S \operatorname{rot} f(x)\cdot v(x) ~ \dd o \end{align}$ scheint $\begin{align} \dd o \end{align}$ direkt nur das skalare Flächenelement zu sein, d.h. nur der Flächeninhalt, was in der ersten Interpretation $\begin{align} \|\dd o\| \end{align}$ war. Die Flächennormale wird hier wohl durch den normierten Vektor $\begin{align} v(x) \end{align}$ repräsentiert (das vermute ich allerdings bloß, erklärt hast du deine Symbole ja nicht).

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