Symmetrien Eigenspektrum Matrix

24.02.2016, 19:57	MatheStudi1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrien Eigenspektrum Matrix Meine Frage: Hallo zusammen, es sei A eine reelle, nicht symmetrische, aber quadratische, Matrix mit der Eigenschaft, dass alle Eigenvektoren in 4er Gruppen auftreten: $\begin{eqnarray} \lambda_j = \bar{\lambda_i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_k = - \lambda_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_l = - \bar{\lambda_i} \end{eqnarray}$ d.h. jeder Eigenwert kommt auch nochmal mit umgedrehten Vorzeichen in Real-, Imaginärteil, sowie komplett negiert vor. Strich=komplex konjugiert. Meine Frage ist nun, ob sich A geeignet auf eine Matrix B abbilden lässt, welche ausschließlich imaginäre (bzw. ausschließlich reelle) Eigenwerte besitzt. Geeignet heißt dabei z.B: $\begin{eqnarray} B = U^{-1} A U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = U^{-1} \frac{A \pm \bar{A}}{2} U \end{eqnarray}$ Dabei ist anzunehmen, dass die Eigenvektoren zu A bekannt sind. Diese sind voll komplexwertig (und nicht etwa nur reell). Meine Ideen: s. Bsp. oben Mir ist dies leider nicht gelungen; jedoch konnte ich auch keinen Hinweis finden zu zeigen, dass es ohne weiteres nicht geht.
24.02.2016, 20:45	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrien Eigenspektrum Matrix Die Matrix $\begin{eqnarray} B = U^{-1} A U \end{eqnarray}$ hat das gleiche charakteristische Polynom wie A. Dein erster Vorschlag für eine geeignete Abbildung ist also ungeeignet. Deine zweite vorgeschlagene Abbildung ergibt für reelles A wenig Sinn. Ok, $\begin{eqnarray} B = U^{-1} \frac{A - \bar{A}}{2} U =0 \end{eqnarray}$ hat nur einen reellen Eigenwert, aber das ist wohl nicht gemeint. Deine Frage, ob sich A geeignet auf eine Matrix B abbilden lässt, welche ausschließlich imaginäre (bzw. ausschließlich reelle) Eigenwerte besitzt, kann man dennoch uneingeschränkt mit Ja beantworten. Einfach weil nicht klar ist, welche Eigenschaften von A bei dieser Abbilldung erhalten bleiben sollen.
28.02.2016, 11:44	MatheStudi1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort!
28.02.2016, 17:52	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessant wäre gewesen, welche Eigenschaften von A bei dieser Abbilldung erhalten bleiben sollen, also welchen Hintergrund die Problemstellung hat

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »