Kurve nach Bogenlänge parametrisieren

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25.02.2016, 12:48	nowayout	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurve nach Bogenlänge parametrisieren "Parametrisieren Sie die Kurve $\begin{eqnarray} C(t)= \begin{pmatrix} 1 \\ - \frac{t^2}{2} \\ \frac{t^3}{3} \end{pmatrix} , t \geq 0 \end{eqnarray}$ nach Bogenlänge s. Welcher Punkt entspricht der Länge s=1?" Zuerst muss ich ja die Bogenlänge berechnen. Das wäre $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} \sqrt{1+ \frac{t^4}{2}+ \frac{t^6}{3}} \end{eqnarray}$ . Wie kann man das Integrieren? Ich kann keine sinnvolle Substitution finden...
25.02.2016, 13:02	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurve nach Bogenlänge parametrisieren Da hast du zur falschen Formel gegriffen. Du mußt die Norm von c'(t) integrieren. (Abgesehen davon, hast du t²/2 und t³/3 falsch quadriert.)
25.02.2016, 13:34	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurve nach Bogenlänge parametrisieren @Ehos: zum einen war es unnötig, einen zusätzlichen Beitrag zu posten, zum anderen war dein Beitrag quasi eine Komplettlösung. Sorry, aber ich habe das als Spam entfernt.
25.02.2016, 15:55	nowayout	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} C'(t) = (0, -t , t^2 ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} \sqrt{t^2+t^4} dt = \int_0^{\infty} \sqrt{t^2 (t^2+1)} dt = \int_0^{\infty} t\sqrt{t^2+1} dt = \frac{1}{2} \int_0^{\infty} u^{\frac{1}{2}} du = \frac{2u^{\frac{3}{2}}}{6} = \frac{2(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}{6} \|_0^{\infty} = + \infty ? \end{eqnarray}$
26.02.2016, 08:36	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Du merkst selbst, daß es nicht zielführend ist, das Integral bis unendlich zu nehmen. Gebraucht wird ja auch die Bogenlänge s in Abhängigkeit der Zeit T. Also: $\begin{eqnarray} s(T) = \int_0^T \sqrt{t^2+t^4} dt \end{eqnarray}$ Außerdem ist diese Rechnung inhaltlich und formal falsch: $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} t\sqrt{t^2+1} dt = \frac{1}{2}* \int_0^{\infty} u^{\frac{1}{2}} du = \frac{2u^{\frac{3}{2}}}{6} = \frac{2(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}{6} \|_0^{\infty} \end{eqnarray}$ Bei der Substitution der Integrationsvariablen in einem bestimmten Integral mußt du auch die Grenzen substituieren. Also: $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} t\sqrt{t^2+1} dt = \frac{1}{2}* \int_1^{\infty} u^{\frac{1}{2}} du \end{eqnarray*}$ Außerdem kannst du nicht eine Stammfunktion hinschreiben und da einfach mal die Grenzen weglassen.
26.02.2016, 23:17	nowayout	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Mit T macht es mehr Sinn. Aber ich habe immer gedacht, dass man die ursprünglichen Integrationsgrenzen lassen kann, solange man am Ende für t zurücksubstituiert? Oder habe ich das falsch verstanden?
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29.02.2016, 08:54	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann solltest du aber mit einem unbestimmten Integral (also ohne Integrationsgrenzen) arbeiten, um eine Stammfunktion zu bestimmen. Mit Integrationsgrenzen kommst du in der Regel zwischendrin auf einen falschen Ausdruck.
01.03.2016, 16:19	nowayout	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, ok, verstehe. Danke Also $\begin{eqnarray} s(T) = \int_0^T \sqrt{t^2+t^4} dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \sqrt{t^2+t^4} dt = \int \sqrt{t^2(t^2+1)} = \frac{1}{2}* \int t* \sqrt{u} * \frac{1}{t} du = \frac{1}{2}* \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2}\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} * (t^2+1)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s(T) = \int_0^T \sqrt{t^2+t^4} dt = \frac{1}{3} * (t^2+1)^{\frac{3}{2}}\|_0^T = \frac{1}{3} * (T^2+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
02.03.2016, 08:34	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
So paßt es.

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