Wegintegral (Polygonzug)

25.02.2016, 16:09

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Wegintegral (Polygonzug)

"Man berechne das Wegintegral $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \Phi (x) dx \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ der Polygonzug $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{x_1 x_2} , \overrightarrow{x_2 x_3} , \overrightarrow{x_3 x_4} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1=(0,0)^T , x_2= (1,0)^T , x_3= (1,1)^T , x_4 = (0,1)^T \end{eqnarray*}$ ist, und wobei $\begin{eqnarray*} \Phi(x,y)^T = (y cos(xy) +2e^x , xsin(xy)+1) \end{eqnarray*}$ "

Ich verstehe nicht, wie man von dem Polygonzug zu $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ kommt. Könnte mir das bitte jemand erklären?

25.02.2016, 19:49

Mathema

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Hallo,

bin kein ausgewiesener Fachmann auf diesem Gebiet, aber vielleicht kann ich ja dennoch helfen.

$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ setzt sich doch aus drei Kurvenstücken zusammen. Für das erste Stück gilt:

$\begin{eqnarray*} \gamma_1: r_1(t)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in [0;1] \end{eqnarray*}$

Für die Fläche ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} J_1=\int_{0}^{1} \! \Phi(r_1(t)) \cdot \dot{r} (t) \, \dd t =\int_{0}^{1} \! \begin{pmatrix} 2e^t \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \, \dd t=\int_{0}^{1} \! 2e^t \, \dd t=2(e-1) \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst du noch die beiden weiteren Kurvenstücke. Insgesamt ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \! \Phi \cdot r =J_1+J_2+J_3 \end{eqnarray*}$

26.02.2016, 23:11

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Danke! Könntest du mir bitte noch erklären, warum man $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nimmt? (0,0) und (1,0) sind die Punkte, durch die r geht, aber warum (t,0)?

27.02.2016, 10:37

Mathema

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Zitat:

(0,0) und (1,0) sind die Punkte, durch die r geht

Ja genau - nennen wir die Punkte mal A und B, rechnen wir doch laut Definition:

$\begin{eqnarray*} A+t(B-A) \end{eqnarray*}$

Nichts anderes habe ich gemacht.

28.02.2016, 13:28

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Ahh, ok, jetzt versteh ichs. Danke!

Für die anderen Punkte wäre es dann also

B+t*(C-B) = (1,0)+t*(0,1) = (1,t)

C+t*(D-C) = (1,1)+t*(-1,0) = (1-t, 1)

$\begin{eqnarray*} J_2 = \int_0^1 (t*cos(t)+2e , sin(t)+1)*(0,1) dt = \int_0^1 sin(t) dt + \int_0^1 1 dt = -cos(t) + t |_0^1 = -1+cos(1)-1 = cos(1)-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J_3 = \int_0^1 (cos(1-t)+2e^{1-t}, (1-t)*sin(1-t)+1)*(1-t,1) dt \end{eqnarray*}$

Ist es soweit richtig?

28.02.2016, 14:06

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{J_2 = \int_0^1 (t*cos(t)+2e , sin(t)+1)*(0,1) dt = \int_0^1 sin(t) dt + \int_0^1 1 dt = -cos(t) + t |_0^1} = \textcolor{blue}{-1+cos(1)-1 = cos(1)-2} \end{eqnarray*}$

Den roten Teil habe ich auch so. Den blauen nicht. Meiner Meinung nach ergibt sich $\begin{eqnarray*} J_2=-\cos(1)+2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{J_3 = \int_0^1 (cos(1-t)+2e^{1-t}, (1-t)*sin(1-t)+1)}*\textcolor{blue}{(1-t,1)} dt \end{eqnarray*}$

Wie oben auch. Beim blauen Faktor hast du anscheinend nicht die Ableitung gebildet, also:

$\begin{eqnarray*} J_3=\int_{0}^{1} \! \Phi(r_3(t)) \cdot \dot{r_3} (t) \, \dd t =\int_{0}^{1} \! \begin{pmatrix} \cos(1-t)+2e^{1-t} \\ (1-t)\sin(1-t)+1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \, \dd t=... \end{eqnarray*}$

28.02.2016, 15:44

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Ja, danke, ich habe mir schon gedacht, dass das dritte Integral falsch ausschaut.

Also $\begin{eqnarray*} J_3=\int_{0}^{1} \! \Phi(r_3(t)) \cdot \dot{r_3} (t) \, \dd t =\int_{0}^{1} \! \begin{pmatrix} \cos(1-t)+2e^{1-t} \\ (1-t)\sin(1-t)+1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \, \dd t = \int_0^1 -cos(1-t) dt - \int_0^1 2e^{1-t} dt = sin(1-t)+2e^{1-t} |_0^1 = 2-sin(1)+2e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \! \Phi \cdot r =J_1+J_2+J_3 = 2e-2-cos(1)+2+2-sin(1)+2e = 4e+2-cos(1)-sin(1) \end{eqnarray*}$

28.02.2016, 16:18

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} J_3=\int_{0}^{1} \! \Phi(r_3(t)) \cdot \dot{r_3} (t) \, \dd t =\int_{0}^{1} \! \begin{pmatrix} \cos(1-t)+2e^{1-t} \\ (1-t)\sin(1-t)+1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \, \dd t = \int_0^1 -cos(1-t) dt - \int_0^1 2e^{1-t} dt = sin(1-t)+2e^{1-t} |_0^1 = 2-sin(1)\textcolor{red}{+}2e \end{eqnarray*}$

Über dieses Pluszeichen solltest du noch mal nachdenken.

28.02.2016, 18:15

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Oh ja, natürlich, du hast Recht. Ich habe schon wieder aufs Minus vergessen.

J3= 2-sin(1)-2e und $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \! \Phi \cdot r =2-cos(1)-sin(1) \end{eqnarray*}$

28.02.2016, 18:19

Mathema

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Ja - das ist auch mein Ergebnis.

Wink

01.03.2016, 11:40

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Danke!

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