Endliche Gruppe, Beweis mit beliebiger Folge

26.02.2016, 16:50	salocin	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Gruppe, Beweis mit beliebiger Folge Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} (G,\cdot ) \end{eqnarray}$ eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und f : $\begin{eqnarray} \mathbb N \rightarrow \end{eqnarray}$ G sei eine beliebige Folge. Beweisen Sie, dass es natürliche Zahlen n und k gibt, so dass $\begin{eqnarray} f(n) \cdot f(n+1) \cdot ... \cdot f(n+k) = e \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Es seien $\begin{eqnarray} (G,\cdot ) \end{eqnarray}$ , f,e wie in der Behauptung. Man definiert eine Folge $\begin{eqnarray} b_1, b_2 , ... , b_n \end{eqnarray}$ in G durch die Zuordnung $\begin{eqnarray} f(1) \cdot f(2) \cdot ... \cdot f(n) \end{eqnarray}$ Nun weiss ich zwar, dass die Menge G endlich ist, aber weiss nicht wie ich weiter machen soll. Kann mir jemand helfen?
26.02.2016, 17:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Gruppe, Beweis mit beliebiger Folge Ich würde iterativ vorgehen. Sei $\begin{eqnarray} \|G\| = m \end{eqnarray}$ . Angenommen es gibt n und k nicht. Dann: $\begin{eqnarray} f(1), f(2), ... \neq e \end{eqnarray}$ . Folglich ist $\begin{eqnarray} f(1) \end{eqnarray}$ eine der m-1 verbleibenden Gruppenelemente. Nun darf $\begin{eqnarray} f(2) \end{eqnarray}$ nur m-2 verschiedene Werte annehmen, nämlich alle außer $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(1)^{-1} \end{eqnarray}$ . Nun kann man folgern, dass $\begin{eqnarray} f(3) \end{eqnarray}$ nur m-3 verschiedene Werte annehmen darf -- und es sollte klar sein worauf das hinausläuft wenn man bei $\begin{eqnarray} f(m) \end{eqnarray}$ angelangt ist.
26.02.2016, 20:02	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Gruppe, Beweis mit beliebiger Folge Alternativ kann man das Schubfachprinzip auf die Produkte $\begin{eqnarray} p_k:=f(1)\cdot\ldots\cdot f(k), k\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ anwenden.
01.03.2016, 13:26	fragendes	Auf diesen Beitrag antworten »
@URL: Warum sollte es nicht möglich sein, dass $\begin{eqnarray} p_k\neq e\ \forall k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ Das Schubfachprinzip funktioniert ja nur für eine feste Anzahl verschiedener Werte in eine festen Anzahl "Schubladen" (= Kardinalität von M in diesem Fall). Doch woher willst du wissen, dass die Werte $\begin{eqnarray} p_k \end{eqnarray}$ verschieden sind?
01.03.2016, 13:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@fragendes Der Beweis sieht nicht vor, dass $\begin{eqnarray} p_k = e \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . Die Idee ist, dass $\begin{eqnarray} l \neq m \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_l = p_m \end{eqnarray}$ existieren. Damit kann man das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ bauen.

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