Erwartungswert Summe

26.02.2016, 21:26

mario1991

Erwartungswert Summe

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich stehe mittlerweile schon länger vor folgendem Problem und finde leider meinen Denkfehler nicht.

Gegeben ist: $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{1}{N}*\sum\limits_{k=1}^{N} x_{i} \end{eqnarray*}$ . Die Variablen $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ sind hierbei unabhängig und identisch verteilt.

Ich bin nun auf der Suche nach dem Erwartungswert E{ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ^2}.

Weiters kenne ich das Ergebnis das hier rauskommen soll: $\begin{eqnarray*} E(x)^2 + \frac{1}{N}*Var(x) \end{eqnarray*}$

Es wäre super wenn ihr mit einen Anstoß geben könntet, wo ich hier meinen Denkfehler gemacht habe smile

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre gewesen einfach mal in den Erwartungswert einzusetzen:

E( $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ )= E( $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{N}*\sum\limits_{k=1}^{N} x_{i})^2 \end{eqnarray*}$ )...

Das ist ja nach, wenn man die Linearität des Erwartungswertes anwendet im Endeffekt einmal $\begin{eqnarray*} \frac{1}{N^2}*E(\sum\limits_{k=1}^{N}\sum\limits_{i=1}^{N}x_{i}*x_{k}) \end{eqnarray*}$ was in weiterer Folge doch
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{N}\sum\limits_{i=1}^{N}E(x_{i}*x_{k}) \end{eqnarray*}$ ergeben sollte, womit ich zu guter Letzt auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{N^2}*N^2*E(x^2)=E(x^2) \end{eqnarray*}$ ergeben sollte. Leider ist das nicht das erwartete Ergebnis.

26.02.2016, 22:03

HAL 9000

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RE: Erwartungswert Summe

Zitat:

Original von mario1991
Das ist ja nach, wenn man die Linearität des Erwartungswertes anwendet im Endeffekt einmal $\begin{eqnarray*} \frac{1}{N^2}*E(\sum\limits_{k=1}^{N}\sum\limits_{i=1}^{N}x_{i}*x_{k}) \end{eqnarray*}$ was in weiterer Folge doch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{N}\sum\limits_{i=1}^{N}E(x_{i}*x_{k}) \end{eqnarray*}$ ergeben sollte

Bis hierhin richtig, danach wird es aber falsch. unglücklich

Bei $\begin{align*} E(x_i\cdot x_k) \end{align*}$ musst du die Fälle $\begin{align*} i=k \end{align*}$ und $\begin{align*} i\neq k \end{align*}$ unterscheiden:

Im Fall $\begin{align*} i=k \end{align*}$ kommt wie bei dir $\begin{align*} E(x_i\cdot x_k) = E(x_i^2) = E(x^2) \end{align*}$ heraus.

Im Fall $\begin{align*} i\neq k \end{align*}$ sind ja $\begin{align*} x_i \end{align*}$ und $\begin{align*} x_k \end{align*}$ unabhängig, woraus $\begin{align*} E(x_i\cdot x_k) = E(x_i)\cdot E(x_k) = (E(x))^2 \end{align*}$ folgt. Insgesamt ergibt das

$\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{N}\sum\limits_{i=1}^{N} E(x_i\cdot x_k) = N\cdot E(x^2) + N(N-1)(E(x))^2 \end{align*}$ .

Da kann man dann noch $\begin{align*} \operatorname{Var}(x) = E(x^2)-(E(x))^2 \end{align*}$ einsetzen, was zu

$\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{N}\sum\limits_{i=1}^{N} E(x_i\cdot x_k) = N\operatorname{Var}(x) + N^2(E(x))^2 \end{align*}$

führt.

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