Einen Weg finden, dessen Bild die Kardiode ist

26.02.2016, 23:45	nowayout	Auf diesen Beitrag antworten »
Einen Weg finden, dessen Bild die Kardiode ist "Die Kardioide ist eine Teilmenge der Ebene, deren Punkte in Polarkoordinaten die Gleichung $\begin{eqnarray} r = 1 + cos ( \phi ) \end{eqnarray}$ erfüllen. Man bestimme einen stetig differenzierbaren Weg $\begin{eqnarray} \gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ , dessen Bild genau die Kardioide ist. Man gebe davon die Weglange an!" Ich weiß bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht weiter. Wie kann ich so einen Weg finden?
27.02.2016, 13:48	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn du einen festen Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ vorgegeben hast, wie kannst du dann in Polarkoordinaten einen Punkt der Kardiode beschreiben, dessen Winkel in Polarkoordinaten genau $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ist? Wie lautet dieser Punkt dann in kartesischen Koordinaten? (Du solltest wissen, wie man das umrechnet.)
28.02.2016, 13:12	nowayout	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x= rcos ( \Phi ) = (1+cos ( \Phi ))cos ( \Phi ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= rsin ( \Phi )=(1+cos ( \Phi ))sin ( \Phi ) \end{eqnarray}$
28.02.2016, 14:16	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, und welche Werte solltest du nun für $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ zulassen, damit du die ganze Kardiode bekommst?
28.02.2016, 15:46	nowayout	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich also die Gleichungen nach Phi auflösen?
28.02.2016, 16:44	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, natürlich nicht. Wenn wir für jedes $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (1+\cos(\phi))\binom{\cos(\phi)}{\sin(\phi)} \end{eqnarray}$ einen Punkt auf der Kardiode erwischen, dann liegt es doch nahe, $\begin{eqnarray} \gamma:[a,b]\to\mathbb R^2, \phi\mapsto (1+\cos(\phi))\binom{\cos(\phi)}{\sin(\phi)} \end{eqnarray}$ zu definieren. Dann enthält das Bild der dieser Kurve alle Punkte der Kardiode deren Winkel in $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ liegen. Du musst dir jetzt überlegen, wie du $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ wählst, so dass das alle möglichen Punkte sind.
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01.03.2016, 11:39	nowayout	Auf diesen Beitrag antworten »
Phi ist $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ -periodisch. Reicht es also, wenn ich $\begin{eqnarray} [a,b]=[0, 2 \pi ] \end{eqnarray}$ wähle?
01.03.2016, 18:42	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Das solltest du dir aber wirklich selbst beantworten können. Wenn du alle Winkel zwischen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ einmal durchlaufen hast, kannst du unmöglich einen Punkt auf der Kardiode übersehen haben, was für einen Winkel sollte der denn dann haben?

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