Kurvenintegrale, Parameterdarstellung

27.02.2016, 11:41

Probability

Kurvenintegrale, Parameterdarstellung

Hallo zusammen,

die Definition lautet ja folgendermaßen:
Eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} \gamma : [a,b] \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ heißt Parameterdarstellung einer Kurve in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit dem Anfangspunkt $\begin{eqnarray*} \gamma (a) \end{eqnarray*}$ und Endpunkt $\begin{eqnarray*} \gamma (b) \end{eqnarray*}$ .

Die Bildmenge $\begin{eqnarray*} \Gamma = {\gamma (t): t \in [a,b]} \end{eqnarray*}$ wird gelegentlich auch Bogen genannt. Und wenn $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ diff.-bar ist und die Ableitung ungleich Null ist, dann lässt sich $\begin{eqnarray*} \gamma '(t) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ als Tangentenvektor der Bildmenge im Punkt $\begin{eqnarray*} \gamma (t) \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ interpretieren.

Angemmmen wir sind im dreidimensionalen Raum und da haben wir irgndeine Kurve, die z.B. ein Vogel oder was auch immer fliegt. Das sieht ja dann einfach so "kurvenmäßig" aus. Was ist dann davon die Parameterdarstellung?

Wie kann ich mir das vorstellen?

Gruß
Probability

27.02.2016, 14:00

Guppi12

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Hallo Probability,

ein paar Beispiele:

Ein Vogel, der im Nullpunkt startet und 10 Einheiten nach oben fliegt, danach 100 Einheiten in Richtung der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse fliegt und dann in einer Spirale (mit 5 Drehungen) landet, durchfliegt nacheinander die folgenden Kurven:

$\begin{eqnarray*} \gamma_1:[0,10]\to \mathbb R^3, t\mapsto (0,0,t) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \gamma_2:[0,100]\to\mathbb R^3, t\mapsto (0,0,10)+t(1,0,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma_3:[0,10]\to\mathbb R^3, t\mapsto (99+\cos(\pi t), \sin(\pi t), 10-t) \end{eqnarray*}$ .

Hoffe, das hilft dir beim Verständnis.

28.02.2016, 17:52

Probability

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Ahh okay danke. Also im Prinzip wird da tatsächlich die Kurve in einzelnen Schritten beschrieben, die der Vogel fliegt, richtig?

Denn $\begin{eqnarray*} \gamma1 \end{eqnarray*}$ schickt Werte 0-10 rein und rauskommen tut etwas, was in z-Richtung nach oben geht. In dem Fall halt 10 Einheiten.

Bei $\begin{eqnarray*} \gamma2 \end{eqnarray*}$ muss ich ja dann noch den letzten Standpunkt vom Vogel bevor dieser 100 Einheiten in Richtung x-Achse fliegt dazu addieren, denn er fliegt ja nicht vom Ursprung weg.

Okay bei $\begin{eqnarray*} \gamma3 \end{eqnarray*}$ ist das 10-t klar, da er ja spiralförmig runterfällt. Und da x=cos und y=sin einen Kreis bilden fällt oder fliegt dieser eben spiralförmig. Dann gehört aber statt 99 eine 100 hin, oder?

Und zufällig sind alle drei Parameterdarstellungen eine Jordan-Kurve, wegen Injektivität. Richtig?

28.02.2016, 18:16

Guppi12

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Zitat:

Dann gehört aber statt 99 eine 100 hin, oder?

Nein, denn $\begin{eqnarray*} \cos(0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und zufällig sind alle drei Parameterdarstellungen eine Jordan-Kurve, wegen Injektivität. Richtig?

richtig.

29.02.2016, 18:12

Probability

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Hmm, aber was passiert genau mit der x-Koordinate bei $\begin{eqnarray*} \gamma3 \end{eqnarray*}$ ?

Klar, der Vogel ist ja 100 Einheiten in Richtung x-Achse geflogen und der Startpunkt ist da halt 0 und cos(0)=1, was dann 100 ergibt. Aber was ist dann bei t=1,2,3 etc.?

Ich kann mir das jetzt nicht vorstellen. Soll das dann wirklich eine Verschiebung der Spirale einfach um 100 ergeben?

01.03.2016, 17:47

Probability

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Kann mir jemand helfen bitte?

01.03.2016, 18:44

Guppi12

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Ich verstehe die Frage nicht.

01.03.2016, 20:17

Probability

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Naja, kannst du mir das genauer erklären bitte, warum geanu 99? Ja ich weiß, dass cos(0)+99=100 ist, aber verstehe es noch immer leider nicht.

01.03.2016, 20:58

Guppi12

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Damit der Vogel keinen plötzlichen Sprung macht, muss der dritte Weg anfangen, wo der zweite aufhört, also bei $\begin{eqnarray*} (100,0,10) \end{eqnarray*}$ . Um die Spirale hinzubekommen, baue ich den Cosinus und den Sinusterm ein. Man hätte also sowas in der Art $\begin{eqnarray*} (\cos(\pi t), \sin(\pi t), 10-t) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt muss man das eben noch soweit verschieben, dass man am Endpunkt des zweiten Weges beginnt und das erhält man genau, wenn man $\begin{eqnarray*} 99 \end{eqnarray*}$ auf die erste Komponente addiert. Ich verstehe deswegen nicht, was an der $\begin{eqnarray*} 99 \end{eqnarray*}$ unklar ist. Man braucht eben genau $\begin{eqnarray*} 99 \end{eqnarray*}$ damit $\begin{eqnarray*} \gamma_3(0) = (100,0,10) \end{eqnarray*}$ ist.

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