Bildmenge einer Funktion

27.02.2016, 12:06

Supraduper

Bildmenge einer Funktion

Meine Frage:
Hi!

Ich versuche die Bildmenge von $\begin{eqnarray*} \frac{2\sin(2x)\cos(2x)}{\sqrt{\sin^2(x) }} \end{eqnarray*}$ zu ermitteln...

Meine Ideen:
Der Zähler ist ja $\begin{eqnarray*} \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \sin(2x) \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \frac{k\pi}{2} \end{eqnarray*}$ dachte ich an de l'Hospital. Wurde aber nichts...

Danke für jede Hilfe! smile

27.02.2016, 12:45

Guppi12

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Hallo Supraduper,

von einem Term kann man keine Bildmenge berechnen. Von einer Funktion könnte man das tun, hast du vielleicht eine Funktion gegeben?

27.02.2016, 13:01

Supraduper

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Danke, ja, die maximal mögliche Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \left\{\frac{k\pi}{2}\right\} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2\sin(2x)\cos(2x)}{\sqrt{\sin^2(x) }} \end{eqnarray*}$

27.02.2016, 13:15

Guppi12

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Ich nehme an, du meinst $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus\{\frac{k\pi}{2}~\vert~k\in\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ . Gut, dann nehmen wir das als Definitionsbereich. (Man könnte übrigens schon eine größere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ finden, die zulässig wäre, aber das ist irrelevant, denn eine Funktion kommt mit festen Definitionsbereich.)

Ich würde an deiner Stelle erstmal den Zähler mit einem Additionstheorem vereinfachen. Zeige danach, dass die Funktion, die da herauskommt $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -periodisch ist, dann reicht es, sich das Bild auf $\begin{eqnarray*} (0,\pi)\setminus\{\frac{\pi}{2}\} \end{eqnarray*}$ anzuschauen, das vereinfacht die Sache schonmal.

Für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus diesem Intervall kannst du dann den Nenner nochmal weiter vereinfachen.

Du kannst ja mal präsentieren, wie weit du damit kommst.

27.02.2016, 13:31

Supraduper

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Vielen Dank schonmal! smile

Aber einen Moment... das darf doch nicht so schwer sein. Ich muss mich beim Ableiten oder so vertan haben...

Die eigentliche Aufgabe ist die maximale Definitonsmenge von f zu bestimmen, dann f ableiten von f' Def.menge + Bildmenge ermitteln.

Es ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{\sin^2(2x)} \end{eqnarray*}$

27.02.2016, 13:47

Guppi12

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Zitat:

Vielen Dank schonmal! smile Aber einen Moment... das darf doch nicht so schwer sein.

Ist es das denn? Solche Betrachtungen sind eigentlich relativ gewöhnlich bei trigonimetrischen Funktionen.

Zitat:

Ich muss mich beim Ableiten oder so vertan haben...

Ja, da fehlt eine $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ im Argument vom Sinus im Nenner, sonst ist die Ableitung richtig.

Zitat:

dann f ableiten von f' Def.menge + Bildmenge ermitteln.

Dann hast du diese Aufgabe nicht richtig gelöst. Was spricht etwa dagegen, $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ einzusetzen? Oder liegt das daran, dass die Ableitung bei dir auf dem Zettel doch richtig ist und du sie nur falsch abgetippt hast? Der von dir angegebene Definitionsbereich passt nämlich zur richtigen Ableitung.

Mit der richtigen Ableitung kannst du sogar zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ -periodisch ist. Dann brauchst du nur das Bild auf $\begin{eqnarray*} (0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ betrachten. (Edit: Danach würde ich den Zähler dann wieder auf die alte Form zurückformen, damit kann man dann mehr anfangen.)

Übrigens muss man eigentlich vor dem Ableiten begründen, wo eine Funktion differenzierbar ist, damit man die hier verwendeten Regeln verwenden kann.

(Ich will damit nicht sagen, dass du das falsch gemacht hast, die Aufgabe suggeriert, dass es genau so gedacht ist. Zeigt, dass der Aufgabensteller selbst nicht so genau weiß, was er tut.)

28.02.2016, 22:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Supraduper
Die eigentliche Aufgabe ist die maximale Definitonsmenge von f zu bestimmen, dann f ableiten von f' Def.menge + Bildmenge ermitteln.

Es ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{\sin^2(2x)} \end{eqnarray*}$

Ich vermag jetzt nicht zu erkennen, was diese Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ oder deren Ableitung $\begin{align*} f' \end{align*}$ mit deinem obigen

Zitat:

Original von Supraduper
Ich versuche die Bildmenge von $\begin{eqnarray*} \frac{2\sin(2x)\cos(2x)}{\sqrt{\sin^2(x) }} \end{eqnarray*}$ zu ermitteln...

zu tun hat. Erstaunt1

Die Ableitung deines $\begin{align*} f(x) = \left| \sin(2x) \right| \end{align*}$ ist schlicht $\begin{align*} f'(x) = \operatorname{sgn}(\sin(2x))\cdot 2\cos(2x) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\neq \frac{k\pi}{2} \end{align*}$ . Für die Ausnahmestellen $\begin{align*} x=\frac{k\pi}{2} \end{align*}$ existiert die Ableitung nicht.

EDIT: Jetzt geht mir ein Licht auf - du meinst gar nicht $\begin{eqnarray*} \frac{2\sin(2x)\cos(2x)}{\sqrt{\sin^2(x) }} \end{eqnarray*}$ , sondern womöglich $\begin{eqnarray*} \frac{2\sin(2x)\cos(2x)}{\sqrt{\sin^2({\color{red}2}x) }} \end{eqnarray*}$ . verwirrt

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