Stetigkeit von Funktionen

27.02.2016, 22:35

Integraluss

Stetigkeit von Funktionen

Hallo,

ich habe ein paar Schwierigkeiten mit der Stetigkeit von Funktionen. Also wir haben das bis jetzt nicht genau durchgenommen, denn das kommt erst im nächsten Semester, jedoch haben wir das so gelenrnt, dass man immer bei einem Punkt auf der Funktionen einen Grenzwert von links und von rechts macht, wenn man bei beiden auf denselben Wert kommt, dann haben wir da eine Stetigkeitsstelle.

Stimmt das erstmal so für eine grobe Untersuchung der Funktion auf Stetigkeit?

Im Anhang seht ihr ein Bild mit Beispielen und dazu ein paar Fragen:

Bild 1: Ja das ist einfach, die Funktion ist stetig, da sie keine Sprungstellen hat.
Bild 2: Hier haben wir jetzt eine Sprungstelle. Der schwarze Punkt ist immer die "Absprungstelle" und beim Kreis landet man, richtig?
Bild 3: Wieso sieht man deine Polstelle? Eine Polstelle ist doch, wenn der Zähler bei welchem x Null wird oder?
Bild 4: Das verstehe ich nicht, springt da die Kurve kurz hoch? Aber müsste da ned der schwarze Punkt unten sein und der Kreis oben?
Bild 5: Wo existiert da der Grenzwert nicht? Außerdem sehe ich da ja keine Sprungstelle, sondern einfach eine Lücke, es gibt nicht alle x-Werte anscheinend.
Bild 6: Wo sieht man hier die Stetigkeit?

Sorry ich weiß, dass es viele Bilder sind, aber irgendwie verstehe ich dieses Thema noch nicht so recht, ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen!

LG
Integraluss

28.02.2016, 00:36

mYthos

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2.
Der schwarze Punkt gehört zur Funktion, der nicht ausgefüllte hingegen nicht.
Die Ausdrucksweisen "Absprungstelle" und "Landung" sind mir nicht bekannt.

3.
An der Polstelle liegt ein uneigentlicher Grenzwert vor, d.h. der Grenzwert geht dort über alle Grenzen (plus oder minus Unendlich)
Bei einem gebrochen rationalen Polynom ist diese Stelle die Nullstelle des Nenners, die NICHT gleichzeitig auch Nullstelle des Nenners ist.

4.
Dort besteht eine Lücke im Kurvenverlauf, die NICHT (wie bei einer hebbaren Unstetigkeit) vom Grenzwert ausgefüllt ist, sondern von einem Funktionswert besetzt ist, der vom Grenzwert der Funktion an dieser Stelle verschieden ist.

5.
Der linksseitige Grenzwert existiert, jedoch nicht der rechtsseitige, daher liegt dort Unstetigkeit vor.

6.
Obwohl es eine unendliche Anzahl von Sprungstellen gibt, in denen immer Unstetigkeit vorliegt, sind am Häufungspunkt selbst der links- und der rechtsseitige Grenzwert identisch und daher die Funktion dortselbst stetig.

mY+

28.02.2016, 11:38

Integraluss

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Ok, danke!

Zitat:

Original von mYthos
2.
Der schwarze Punkt gehört zur Funktion, der nicht ausgefüllte hingegen nicht.
Die Ausdrucksweisen "Absprungstelle" und "Landung" sind mir nicht bekannt.

D.h., wenn ich hier mir den limes von links und rechts berechne kommt nicht dasselbe raus, da der nicht ausgefüllte Punkt nicht zur Funktion gehört?

Zitat:

3.
An der Polstelle liegt ein uneigentlicher Grenzwert vor, d.h. der Grenzwert geht dort über alle Grenzen (plus oder minus Unendlich)
Bei einem gebrochen rationalen Polynom ist diese Stelle die Nullstelle des Nenners, die NICHT gleichzeitig auch Nullstelle des Nenners ist.

Du meinst "Bei einem gebrochenen rationalen Polynom ist diese Stelle die Nullstelle des Zählers...." - Richtig?
Also sehen Polstellen immer so aus, also diese verursachen eine Näherung an Asymptoten ins Unendliche?
Kannst du mir mal so eine Funktionen aufschreiben bitte?

Zitat:

4.
Dort besteht eine Lücke im Kurvenverlauf, die NICHT (wie bei einer hebbaren Unstetigkeit) vom Grenzwert ausgefüllt ist, sondern von einem Funktionswert besetzt ist, der vom Grenzwert der Funktion an dieser Stelle verschieden ist.

Achso, d.h. hier gehört der ausgefüllte Kreis zur Funktion, aber der leere nicht.
Was heißt aber "vom Grenzwert ausgefüllt ist"?
Was wäre, wenn leerer Kreis und ausgefüllter Kreis vertauscht werden?

Zitat:

5.
Der linksseitige Grenzwert existiert, jedoch nicht der rechtsseitige, daher liegt dort Unstetigkeit vor.

Was kommt denn raus, wenn ein Grenzwert nicht existiert? Eine Division durch Null?

Zitat:

6.
Obwohl es eine unendliche Anzahl von Sprungstellen gibt, in denen immer Unstetigkeit vorliegt, sind am Häufungspunkt selbst der links- und der rechtsseitige Grenzwert identisch und daher die Funktion dortselbst stetig.

Ja Aber ich sehe da ja nur Sprungstellen. Da sind nie ausgefüllte Punkte nebeneinander.
Was meint man mit Häufigkeitspunkt, wo sieht man den?

29.02.2016, 13:38

mYthos

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2.
OK

3.
NEIN, Polstellen sind an den Nullstellen des NENNERS, wie schon beschrieben.
Diese Nullstellen sollen NICHT gleichzeitig Nullstellen des Zählers sein, ansonsten eine (hebbare) Lücke vorliegen würde.

Beispiele:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2 + 4}{x - 2} \end{eqnarray*}$

Polstelle bei x = 2, dort gibt es eine vertikale Asymptote.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \end{eqnarray*}$

(Hebbare) Lücke bei x = 3, Polstelle bei x = -2

Um dies besser zu sehen, erstelle den Graphen!

4.
Dann wäre die Funktion einfach stetig (der leere Kreis kann ja in der Geographie irgendwo herumliegen)

5.
Ja, aber nicht nur bei Division durch Null, sondern auch bei bestimmten anderen Funktionen.
Z.B ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \sin (x) \end{eqnarray*}$ nicht bestimmt, weil der Sinus alle Werte zwischen -1 und +1 annehmen kann.

6.
Die Sprungstellen liegen in der Nähe des Häufungspunktes immer näher beieinander.
In einer sehr kleinen Umgebung dieses Häufungspunktes liegen fast alle (unendlich viele) Sprungstellen, im Häufungspunkt selbst sind die links- und rechtsseitigen Limiten dann gleich.

mY+

02.03.2016, 12:19

Integraluss

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Ich hab das mal zeichnen lassen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x^2-9%29+%2F+%28x^2-x-6%29

Aber ich sehe die polstelle bei -3, aber die Lücke da nicht. Wo ist die? Bei x=3 sehe ich da nichts.

02.03.2016, 12:50

Steffen Bühler

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Ich spring kurz ein.

Diese Lücke "sieht" man auch nicht, sie ist ja unendlich klein. Als weiteres Beispiel ist die Funktion $\begin{align*} f(x)=\frac xx \end{align*}$ ja auch überall außer für x=0 definiert und ergibt ansonsten den Wert Eins. Das ist zeichnerisch dann also eine horizontale Linie mit Lücke bei x=0:

Da ist auch keine Lücke zu sehen. Und auch nicht, wenn Du weiter reinzoomst:

Die Auflösung des Monitors wird sozusagen niemals ausreichen, um diese infinitesimal kleine Lücke anzuzeigen. Selbst ein einziger schwarzer Pixel wäre viel zu grob und würde viele Zahlen fälschlicherweise ausschließen.

Man kann die Lücke nur extra kennzeichnen, indem man sie etwa mit einem kleinen Kreis markiert. Zu sehen ist sie sonst nicht.

Viele Grüße
Steffen

02.03.2016, 19:04

Integraluss

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Ahh, ich glaub ich verstehs jetzt. D.h. Plolstellen sind jene Stellen x, wo der Nenner Null wird und hebbare Lücken sind jene Stellen x wo Zähler und Nenner Null werden.

Stimmt das so?

02.03.2016, 20:19

Steffen Bühler

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Ja, so ist es.

Viele Grüße
Steffen

02.03.2016, 20:25

Integraluss

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Wenn ich z.B. habe:

$\begin{eqnarray*} 1-e^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x >= 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe hier nicht, wie ich den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert bilden soll. Die e-Funktion ist im pos. x-Bereich mit der Null und die quadratischen Funktion ist im neg. x-Bereich.

Der rechtsseitigen Grenzwert ist Null, aber wie berechne ich den Linke, muss ich da dann -x^2 schreiben? Das wäre dann ja auch Null, stimmts?

Oder kann mir mal wer ein Beispiel geben, wo ich das anwenden kann, also wo man es leicht sieht, wie das funktioniert?

02.03.2016, 21:01

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ja, so ist es.

Da muss ich widersprechen: Selbst wenn Zähler und Nenner null werden, kann dort eine Polstelle vorliegen (Beispiel: $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{x+2}{x^2+4x+4} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ ).

Hat man in Nenner und Zähler Polynome, kann man z.B. durch Polynomdivision einen gemeinsamen Linearfaktor abspalten, kürzen und schauen, was dann übrig bleibt.
Wenn man keine Polynome hat, muss man sich was anderes überlegen (z.B. hat $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{e^x-1}{x^2} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ eine Polstelle).

Und es kann auch passieren, dass man weder Polstelle noch hebbare Definitionslücke hat ( $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{|x|}{x} \end{eqnarray*}$ ).

02.03.2016, 23:55

mYthos

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Zitat:

Original von Integraluss
...
Aber ich sehe die polstelle bei -3, aber die Lücke da nicht. Wo ist die? Bei x=3 sehe ich da nichts.

Nein, die Polstelle ist bei x = -2

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