Nachweis: injektiver Homomorphismus

28.02.2016, 16:17	S.A.W.	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis: injektiver Homomorphismus Hallo, ich habe derzeit folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Köprer und $\begin{eqnarray} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Man erhält einen Injektiven Homomorphismus $\begin{eqnarray} GL(n,K)\to S(K^n\setminus\{0\}) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} A\mapsto \tilde{A}(x):=Ax \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A\in GL(n,K) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in K^n, \, x\neq 0 \end{eqnarray}$ . Nun zu meinem Problem: Nach Skript ist die Definition eines Homomorphismus gegeben durch $\begin{eqnarray} f(ab)=f(a)f(b) \end{eqnarray}$ . Ich habe $\begin{eqnarray} \tilde{AB}(x)=(AB)x=A(Bx)=A(\tilde{B}(x)=\tilde{A}(\tilde{B}(x))=(\tilde{A}\circ\tilde{B})(x) \end{eqnarray}$ . Ich würde es allerdings gerne auf die Schreibeise der Deifinition übertragen. Wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstehe, habe ich für ein festes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f_x:GL(n,K)\to S(K^n\setminus\{0\}),\;\; A \mapsto \tilde{A}(x)=:f_x(A). \end{eqnarray}$ Dies liefert mir: $\begin{eqnarray} <br /> f_x(AB)=(AB)(x)=s.o.=\tilde{A}(\tilde{b}(x))=\tilde{A}(f_x(B))=f_{f_x(B)}(A) \end{eqnarray}$ , bräuchte aber $\begin{eqnarray} f_x(AB)=...=f_x(A)f_x(B) \end{eqnarray}$ . Wo habe ich mich verhaspelt?
28.02.2016, 17:32	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nachweis: injektiver Homomorphismus Bei festem x bedeutet $\begin{eqnarray} A\mapsto \tilde{A}(x):=Ax \end{eqnarray}$ , dass der Matrix A das Bild Ax des Vektors x zugeordnet wird. Diese Abbildung ist sicher nicht injektiv. Wie habt ihr $\begin{eqnarray} S(K^n\setminus\{0\}) \end{eqnarray}$ definiert?
28.02.2016, 18:30	S.A.W.	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach entsprechendem Skript: Für eine nichtleere Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} S(M):=\{\alpha:M\to M\vert \alpha \;\; \text{bijektiv}\} \end{eqnarray}$ die symetrische Gruppe ( Permutations-Gruppe). Habe ich ggf. den Aufgabentext falsch aufgefasst und der Aufgabensteller meinte, dass $\begin{eqnarray} \tilde{A} : K^n \to K^n \end{eqnarray}$ unsere Funktion ist? Wegen $\begin{eqnarray} A \in GL(n,K)\Leftrightarrow \det A \neq 0 \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \tilde{A}(x)=Ax \end{eqnarray}$ bijektiv ist. Nach der obigen Aufgabenstellung müsste aber eine Matrix das Argument des gesuchten injektiven Homomorphismus sein.
28.02.2016, 18:52	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Homomorphismus bildet $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \tilde{A} \end{eqnarray}$ ab. $\begin{eqnarray} \tilde{A} \end{eqnarray}$ ist wiederum beschrieben durch $\begin{eqnarray} \tilde{A}(x):=Ax, x\in K^n\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ . Letztlich ordnet der Homomorphismus der Matrix A ihre Einschränkung auf $\begin{eqnarray} K^n\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ zu. Jetzt muss man zunächst begründen, warum $\begin{eqnarray} \tilde{A}\in S(K^n\setminus\{0\}) \end{eqnarray}$ ist. Das wesentliche Argument hast du schon genannt. Ob der Übungsleiter mit der knappen Begründung zufrieden ist, wirst du sehen Damit ist die Abbildung, so wie sie da steht, überhaupt sinnvoll. Bleiben Homomporphie und Injektivität.
28.02.2016, 19:21	S.A.W.	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe, ULR. Einen Übungsgruppenleiter muss ich zum Glück nicht zufriedenstellen. Das Ganze dient mehr der eigenen Weiterbildung. Ich knüpfe dann mal an meinen vorigen Post an : $\begin{eqnarray} \tilde{A}:K^n\to K^n \end{eqnarray}$ ist bijektiv. Die Einschränkung $\begin{eqnarray} \tilde{A}\big\vert_{K^n\setminus\{0\}} \end{eqnarray}$ also auch, denn $\begin{eqnarray} Ax=0 \end{eqnarray}$ , so denn $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ ist. Folglich ist $\begin{eqnarray} \tilde{A}\in S(K^n\setminus\{0\}) \end{eqnarray}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray} GL(n,K)\to S(K^n\setminus\{0\}),\;\; A\mapsto \tilde{A} \end{eqnarray}$ ist wegen: "Für alle $\begin{eqnarray} A,B \in GL(n,K) \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} x\in K^n \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (AB)x=A(Bx)=A(\tilde{B}(x))=\tilde{A}(\tilde{B}(x))=(\tilde{A}\circ\tilde{B})(x) \end{eqnarray}$ ." ein Gruppenhomomorphismus. Injektivität bekomme ich, da der Kern der Abbildung $\begin{eqnarray} id_{GL(n,K)} \end{eqnarray}$ ist. Hier nutze ich: $\begin{eqnarray} Kern(f)=\{e\}\Leftrightarrow f \end{eqnarray}$ ist injektiv. Weitere Kritik erwünscht.
28.02.2016, 19:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir würde das als Begründung reichen.
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