gekoppelte Differentialgleichungen

29.02.2016, 11:42	pleasediaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
gekoppelte Differentialgleichungen Meine Frage: Guten Morgen allerseits, ich bin Physikstudentin im ersten Semester und in Mathe hatten wir bisher hauptsächlich Lineare Algebra. In einer Programierhausaufgabe sollen wir uns mit dem Doppelpendel beschäftigen und trotz intensiver recherchen, können wir für folgendes mathematisches Problem keine Antwort finden: Die Bewegungsdifferentialgleichungen für die beiden Massen eines Doppelpendels lauten ja wie folgt: $\begin{eqnarray} <br /> \ddot\varphi_1 + \frac{\mu}{\lambda} \ddot\varphi_2 \cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right) + \frac{\mu}{\lambda} {\dot\varphi_2}^2\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right) + \omega^2 \sin\varphi_1 =0<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> \ddot\varphi_2 + \lambda \ddot\varphi_1 \cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right) - \lambda {\dot\varphi_1}^2\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right) + \lambda\omega^2 \sin\varphi_2 =0<br /> \end{eqnarray}$ wir wollen die numerisch lösen. Nun tritt aber das Problem auf, dass wir als Anfangsbedingungen zwar die Anfangswinkel wie auch deren erste Ableitungen gegeben haben, die Gleichungen aber direkt miteinander gekoppelt sind. Wie löst man dieses Problem? Meine Ideen: Eine Idee war, die leider nicht funktioniert hat, die eine Gleichung in die andere einzusetzen. Leider hat es dann ziemlich unplausible Werte ausgespuckt :/
29.02.2016, 11:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn wir $\begin{align} \ddot{\varphi}_1 \end{align}$ sowie $\begin{align} \ddot{\varphi}_2 \end{align}$ als die beiden Unbekannten ansehen, dann ist das ganze doch ein einfaches 2x2 lineares Gleichungssystem, das sich bequem nach $\begin{align} \ddot{\varphi}_1,\ddot{\varphi}_2 \end{align}$ auflösen lässt - mit welcher der bekannten Methoden auch immer.
29.02.2016, 13:11	pleaseidaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für die schnelle Antwort. genau das haben wir versucht, allerdings schießen die Werte für die Winkel schon nach wenigen Iterationen in die Höhe, so dass wir davon ausgegangen sind, dass das der falsche Weg ist. Ich dachte da gibt es eventuell spezielle Methoden für Differentialgleichungen? Bzw. Regeln was in der Hinsicht erlaubt ist und was nicht?
29.02.2016, 13:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann habt ihr die Schrittweite zu groß gewählt, und vielleicht überhaupt auch das "falsche" (weil ungenaue) numerische Verfahren. Z.B. macht es schon enorm was aus, ob man nur das primitive Euler-Verfahren (Ordnung 1) oder doch schon ein Runge-Kutta-Verfahren höherer Ordnung nimmt (z.B. Ordnung 4 beim klassischen RK).

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