Welchen mittleren Abstand haben zwei Punkte auf einer Geraden der Länge Eins?

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hollst Auf diesen Beitrag antworten »
Welchen mittleren Abstand haben zwei Punkte auf einer Geraden der Länge Eins?
Meine Frage:
Auf einer Linie der Länge L = 1 werden zufällig zwei Punkte gewählt. Welchen Abstand haben diese zwei Punkte im Mittel, d. h. wenn man den Vorgang sehr oft wiederholt?

Meine Ideen:
Die zwei Punkte können als gleichverteilte Zufallszahlen X1 und X2 aufgefasst werden. Eine daraus abgeleitete dritte Zufallszahl sei A, mit
A = ABS(X1 - X2). Für A wäre der Erwartungswert zu berechnen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hollst
Die zwei Punkte können als gleichverteilte Zufallszahlen X1 und X2 aufgefasst werden. Eine daraus abgeleitete dritte Zufallszahl sei A, mit A = ABS(X1 - X2). Für A wäre der Erwartungswert zu berechnen.

Richtig. Allgemein gilt bei stetig verteilten für den Erwartungswert ,

im Falle der Unabhängigkeit von (so wie hier) sogar dann .

Im vorliegenden Fall liegt die stetige Gleichverteilung auf vor, d.h., es ist ,

womit sich hier alles zu vereinfacht. Du willst das ganze nun speziell für berechnen, d.h.

.

Na dann mal zu.
hollst Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welchen mittleren Abstand haben zwei Punkte auf einer Geraden der Länge Eins?
Besten Dank!

wxMaxima sagt

integrate(integrate(abs(x1-x2), x1,0,1),x2,0,1);

1/3
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Wert 1/3 stimmt. Hoffentlich kannst du das ganze auch dann noch, wenn dir wxMaxima mal nicht zur Verfügung steht - aber das soll jetzt nicht mein Problem sein. Augenzwinkern
hollst Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, per Hand geht es auch, aber der ABS macht wie immer Schwierigkeiten. Ich kann den ABS aber so umgehen (X1 = x; X2 = y):



Wegen der Symmetrie muss das Ergebnis dann 2 * 1/6 sein.


Interessant für mich ist, dass ich 1/3 nie erwartet hätte, eher 1/2.

Nochmals vielen Dank für die Hilfe!!!
hollst Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das Integral muss natürlich so lauten:

 
 
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