Mantelfläche über Kreisumfang

29.02.2016, 13:31

allahahbarpingok

Mantelfläche über Kreisumfang

Warum ist es falsch die Mantelfläche eines Rotationskörpers als aneinandergereihte Kreisumfänge zu berechnen? In meiner Formelsammlung wollte ich die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Rotationskörpers um die x-Achse herleiten.

[attach]41041[/attach]

Kreisumfang: $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \pi \cdot R \end{eqnarray*}$

In einem speziellen x ist der Umfang dann: $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \pi \cdot f(x) \end{eqnarray*}$

Das Integral summiert dann die Umfänge auf: $\begin{eqnarray*} M = \int_{0}^{a} \! 2 \pi f(x) \, dx = 2 \pi \int_{0}^{a} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

traurig

29.02.2016, 13:46

HAL 9000

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Ein (infinitesimales) Flächenelement der Oberfläche kann man sich als Rechteckfläche mit Länge $\begin{align*} 2\pi f(x) \end{align*}$ (Kreisumfang) und Breite $\begin{align*} \dd s \end{align*}$ vorstellen, dabei ist $\begin{align*} \dd s \end{align*}$ das infinitesimale Kurvenelement am Punkt $\begin{align*} (x,f(x)) \end{align*}$ deines Graphen. Und es ist NICHT $\begin{align*} \dd s = \dd x \end{align*}$ (wie du es dir vorstellst), sondern nach Pythagoras $\begin{align*} \dd s = \sqrt{(\dd x)^2+(\dd y)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{\dd y}{\dd x}\right)^2} ~ \dd x = \sqrt{1+(f'(x))^2} ~ \dd x \end{align*}$ , und damit insgesamt

$\begin{align*} M = \int\limits_0^a 2\pi f(x) ~ \dd s(x) = \int\limits_0^a 2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} ~ \dd x \end{align*}$ .

29.02.2016, 15:16

allahahbarpingok

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Die Herleitung kenne ich schon. Verstanden habe ich, aber immer noch nicht, warum mein Ansatz nicht funktioniert.

29.02.2016, 15:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Und es ist NICHT $\begin{align*} \dd s = \dd x \end{align*}$ (wie du es dir vorstellst)

Ein nicht-horizontales Kurvenelement $\begin{align*} \dd s \end{align*}$ ist nun mal länger als dein horizontales $\begin{align*} \dd x \end{align*}$ . Gemäß deiner Argumentation müsste man auch die Kurvenlänge von $\begin{align*} x=a\ldots b \end{align*}$ vom Graph $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ über

$\begin{align*} L \stackrel{???}{=} \int\limits_a^b ~ \dd x = b-a \end{align*}$

berechnen können, statt (wie es richtig ist) über

$\begin{align*} L = \int\limits_a^b ~ \dd s(x) = \int\limits_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} ~ \dd x \end{align*}$ . unglücklich

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Vielleicht verstehst du es an einem konkreten Beispiel, warum dein Vorgehen falsch sein muss:

Betrachten wir einen geraden Kreiskegel mit Grundkreisradius $\begin{align*} r \end{align*}$ und Höhe $\begin{align*} h \end{align*}$ .

Den kann man als Rotationskörper der Funktion $\begin{align*} f(x) = \frac{r}{h}x \end{align*}$ im Intervall $\begin{align*} [0,h] \end{align*}$ beschreiben.

Jetzt betrachten wir mal den Grenzübergang $\begin{align*} h\to 0 \end{align*}$ , die Mantelfläche konvergiert im Zuge dessen dann offenkundig gegen die Grundkreisfläche, also $\begin{align*} M\to \pi r^2 \end{align*}$ .

Was passiert nun gemäß deiner Formel bei diesem Grenzübergang:

$\begin{align*} M \stackrel{?}{=} \int\limits_0^h 2\pi f(x) ~ \dd x = \int\limits_0^h \frac{2\pi r}{h} x ~ \dd x = \pi rh \to 0 \end{align*}$ für $\begin{align*} h\to 0 \end{align*}$ .

Dieses seltsame, gegen den GMV sprechende Ergebnis sollte dir zu denken geben...

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