Beweis Binomialkoeffizient / Differenzierbarkeit

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vogs Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Binomialkoeffizient / Differenzierbarkeit
Hallo,

ich habe 2 Fragen zu Aufgabenstellungen:

1.) Beweisen Sie mit m, n Element aus N0 (Beweis nach n)


Hier weiß ich ehrlich gesagt nicht so genau, was ich überhaupt machen soll, und wie ich die Angabe verstehen soll.
Ich hätte jetzt mal den Binomialkoeffizienten links aufgeschrieben, und dann für k=n eingesetzt, weil ja bis n summiert wird und dann versucht, dass in die rechte Schreibweise zu bringen oder bin ich da auf dem Holzweg?

2.) Entscheiden und Begründen, ob f(x) an der Stelle 0 differenzierbar ist.


Hier hätte ich es über den Grenzübergang des Differenzenquotienten angesetzt, oder über den links und rechtsseitigen Grenzwert der Ableitung. Letzteres ist einfacher und sollte ja auch gehen oder?






Ist also differenzierbar an dieser Stelle.

Über den Differenzenquotienten hätte ich es so angesetzt (Aufgrund der Vollständigkeit würde ich dies auch gerne klären, ob das so korrekt ist).


Und dann für Annäherung von links:

Was eigentlich auf eine unbestimmte Form 0/0 führt und mittels de Hospital auf

Und Annäherung von rechts:


Die beiden Grenzwerte sind gleich, also ist die Funktion differenzierbar.
Hab ich wo was falsch gemacht, kann man wo was einfacher machen?

Um noch eine Aussage treffen zu können, ob die Funktion stetig differenzierbar ist, könnte ich nun noch den linksseitigen- und rechtsseitigen Grenzwert von f(x) machen oder?


Somit ist die Funktion stetig differenzierbar. Wobei eigentlich aus der Differenzierbarkeit ja die Stetigkeit folgt. Ob ich den Weg über den Differenzenquotienten oder direkt über den Grenzwertübergang der Ableitungen gehe ist eigentlich egal oder?
Gibts noch andere Methoden?

Wäre zumindest meine Vorgehensweise.

Danke!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 1) wäre wohl ein Nachweis per Vollständiger Induktion über angemessen.

Zitat:
Original von vogs
Hallo,

Streng genommen gilt in der ersten Zeile nur für , d.h., noch nicht für . Von der Seite gesehen ist nur die linksseitige Ableitung im Punkt , was übrigens i.a. was anderes ist als der linksseitige Grenzwert der Ableitung: Zumindest kann diese linksseitige Ableitung existieren, ohne dass existieren muss. Augenzwinkern Genauso ist 1 die rechtsseitige Ableitung im Punkt . Existenz sowie Gleichheit von links- und rechtsseitiger Ableitung liefert dann die Differenzierbarkeit im Punkt .
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Bei 1) wäre wohl ein Nachweis per Vollständiger Induktion über angemessen.

Daran hab ich auch schon gedacht, aber um ehrlich zu sein, verwirrt mich das Summenzeichen auf der linken Seite etwas. Könntest du mir evtl. beim Ansatz helfen.

Zitat:

Zitat:
Original von vogs
Hallo,

Streng genommen gilt in der ersten Zeile nur für , d.h., noch nicht für . Von der Seite gesehen ist nur die linksseitige Ableitung im Punkt , was übrigens i.a. was anderes ist als der linksseitige Grenzwert der Ableitung: Zumindest kann diese linksseitige Ableitung existieren, ohne dass existieren muss. Augenzwinkern Genauso ist 1 die rechtsseitige Ableitung im Punkt . Existenz sowie Gleichheit von links- und rechtsseitiger Ableitung liefert dann die Differenzierbarkeit im Punkt .


Warum ist f'(x) nur für x<0 der cos(x)? In der Ursprungsdefinition steht doch sin(x),x<=0.

Ja, dass die rechtsseitige und linksseitige Ableitung existieren können, die Funktion jedoch an einem Punkt (in dem Fall x=0) nicht existiert ist mir schon klar (darum macht man das Ganze ja). Sorry falls ich mich da in meinem Eingangspost etwas verwirrend ausgedrückt habe.

Wo ist/sind dann die Fehler in meinem Vorgehen (um dies genauer zu eruieren, hab ich auch alles so schön aufgespaltet und in Latex geschrieben).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vogs
Zitat:
Original von HAL 9000
Bei 1) wäre wohl ein Nachweis per Vollständiger Induktion über angemessen.

Daran hab ich auch schon gedacht, aber um ehrlich zu sein, verwirrt mich das Summenzeichen auf der linken Seite etwas. Könntest du mir evtl. beim Ansatz helfen.


Was ist denn an dem Summenzeichen verwirrend? Die vollständige Induktion geht wie andere auch. smile
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja, hab auch schon die eine oder andere VI mit Summen gemacht, da ists aber immer rechts und links vom = gestanden. Es tut mir leid, dass ich diesbezüglich etwas blöd frage, aber der Zusammenhang mit dem Binomialkoeffizienten macht mir gerne mal so sein Probleme.

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch ziemlich egal, was rechts und links vom Gleichheitszeichen steht. Egal, ob
a) links und rechts eine Summe steht,
b) nur links eine Summe steht und rechts keine,
c) weder links, noch rechts eine Summe steht,
du machst eine vollständige Induktion mit Induktionsanfang und Induktionsschluß.

EDIT: und bitte keine Komplettzitate machen. Man sieht ja, was vorher steht.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vogs
Warum ist f'(x) nur für x<0 der cos(x)? In der Ursprungsdefinition steht doch sin(x),x<=0.

Eigentlich hatte ich das warum schon erklärt, daher nur mal folgende provokative Frage: Würdest du denn für



auch ebenso "blind" übertragen



was schon ein Widerspruch in sich ist an der Stelle ???


Zitat:
Original von vogs
Ja, dass die rechtsseitige und linksseitige Ableitung existieren können, die Funktion jedoch an einem Punkt (in dem Fall x=0) nicht existiert ist mir schon klar

Das war es nicht, worauf ich in

Zitat:
Original von HAL 9000
was übrigens i.a. was anderes ist als der linksseitige Grenzwert der Ableitung: Zumindest kann diese linksseitige Ableitung existieren, ohne dass existieren muss. Augenzwinkern

hingewiesen habe. Ich verweise da mal auf das bekannte Beispiel

.

Da ist , während für ja



gilt, was die Nichtexistenz von und bewirkt (tatsächlich sind da und ).

Das soll also eine Warnung sein: Du kannst nicht sagen

Zitat:
und existieren nicht, also ist in 0 nicht differenzierbar.

weil das schlicht falsch ist - ich wiederhole: Der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert der Ableitungen ist was anderes als die links- bzw. rechtsseitige Ableitung in einem Punkt!!!
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, so nicht, da bei beiden ein = 0 inkludiert ist, was bei meinem ja nicht so ist. Ich vermute aber, du wolltest auf was anderes raus und irgendwo steh ich jetzt total auf der Leitung.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vogs
Hmmm, so nicht, da bei beiden ein = 0 inkludiert ist, was bei meinem ja nicht so ist.

Ok, damit auch diese deine letzte oberfaule Ausrede wegfällt: Betrachten wir

sowie .

Nach deiner Lesart gilt dann

sowie ,

d.h., bei dir wäre und .

und beschreiben aber dieselbe Funktion, nämlich . Wie erklärst du nun den Widerspruch, dass einmal Ableitungswert 1 und das andere mal Ableitungswert -1 herauskommt nach deinem "Verfahren", für ein- und dieselbe Funktion an ein- und derselben Stelle??? Forum Kloppe Forum Kloppe Forum Kloppe
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal, das kann man auch anders formulieren und ohne diese dämlichen und unnötigen Emoticons. Ich glaube, ich sollte im Eingangspost klar gemacht haben, dass ich nicht unbedingt faul bin, sondern um Klärung meines Problems bitte (sonst hätt ich wohl kaum alles schön in Latex usw geschrieben, was doch auch einiges an Zeit kostet).
Ich verstehe schon, dass man oft meint, hier posten nur denkfaule, welche die Antwort präsentiert bekommen wollen, tja wirds auch geben. Ich zähl mich nicht dazu!
Und außerdem hab ich die Bearbeitung deines Beitrags erst jetzt gesehen.

Zu deinem Beispiel mit dem Sinus (ist meines Erachtens nach illustrativer). Dann verstehe ich das Skriptum oder so einiges falsch (was ich auch noch gefunden habe): https://de.serlo.org/mathe/funktionen/ue...erenzierbarkeit

Ist dann alles was ich eingangs gemacht habe falsch? Wie kann ich die Differenzierbarkeit dann herausfinden?
In meinen Unterlagen steht, wenn existiert, so ist f differenzierbar an der Stelle x. Weiters steht, dass dieser Grenzübergang dann f'(x) ist (natürlich nur, wenn der Limes existiert).

PS: Sorry, hab da eingangs bei dem limes einen VZ-Tippfehler drinnen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vogs
In meinen Unterlagen steht, wenn existiert, so ist f differenzierbar an der Stelle x. Weiters steht, dass dieser Grenzübergang dann f'(x) ist (natürlich nur, wenn der Limes existiert).

Richtig, aber so gehst du ja nicht vor.

P.S.: Die "dämlichen" Emoticons sind dafür, weil du auch in der dritten Formulierung die Argumente nicht beachtet hast.
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Ich setz dann doch bei ein. Jetzt bin ich aber ehrlich gesagt verwirrt, was ich einsetzten soll. Ich denk mir, in dem Fall müsst ich doch h um den Punkt 0 nehmen und nicht x+h, also nur "nach rechts".
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss nicht jedesmal wieder bis zum Differenzenquotienten zurück - zumindest wenn man sich Eigenschaften wie diese klar macht.

Auf die vorliegende Funktion mehrfach angewandt bedeutet das

für





für .

Die Übereinstimmung ergibt dann Differenzierbarkeit in mit Wert .



Auf die obige Betragsfunktion angewandt ergibt das hingegen

für





für .

Hier ist , also ist im Punkt nicht differenzierbar.
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort.

Nichts anderes hab ich doch in meinem Eröffnungspost gemacht?



Also hat man eh diese beiden äquivalenten Möglichkeiten (mit limes und mit Differenzenquotienten).

Also war hauptsächlich das Problem, dass ich f'(x) nicht "einfach so" zusammensetzen darf?

PS: Die Induktion hab ich hinbekommen, Danke!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum wirklich allerletzten Mal:

ist NICHT die linksseitige Ableitung . böse

(Und das Emoticon ist mehr als berechtigt.)

Warum nur begreifst du das nicht? unglücklich

Ich hab sogar oben die Funktion genannt, wo genau der Unterschied illustriert wird! Aber nein, zum einen Ohr rein, zum anderen raus - obwohl, vermutlich noch nicht mal das. unglücklich
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Achso das ist das Problem.
Also vergleicht man ja eigentlich gar nicht die Grenzwerte, sondern genau! den Wert an diesem Punkt für die jeweiligen Funktionen.

Dann hab ich wohl auch hier: https://de.serlo.org/mathe/funktionen/ue...erenzierbarkeit
falsch interpretiert.

PS: Um deine Frage zu beantworten, zu dumm.
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Gelte ich als unbelehrbar oder wars das?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es war für mich ehrlich gesagt nicht ersichtlich, dass noch irgend eine Frage offen war. verwirrt
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vogs
Also vergleicht man ja eigentlich gar nicht die Grenzwerte, sondern genau! den Wert an diesem Punkt für die jeweiligen Funktionen.

Dann hab ich wohl auch hier: https://de.serlo.org/mathe/funktionen/ue...erenzierbarkeit


Ja, hätte ich besser formulieren können, sorry.

Da es mir ja sichtlich schwer gefallen ist hätte ich nur noch gerne eine Bestätigung oder eben ein Dementi bzgl. meiner letzten Aussage.
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Und hier wäre ich nach wie vor für eine Bestätigung oder ein Dementi dankbar!
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