Vorzeichenwechsel - Seite 2

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06.03.2016, 17:46	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich gerade mit der Rechnung nicht schon ermittelt, dass es ein Wendepunkt ist? Oder ist es noch unsicher? Die dritte Ableitung ist 30, also ungleich 0. Wie komme ich auf die Steigung?
06.03.2016, 19:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Wendepunkt ist sicher. Nun, die Steigung ist ja wieder etwas Bekanntes, denn sie wird durch die 1. Ableitung beschrieben, wie du vielleicht schon weisst. Also musst du den x-Wert des Wendepunktes in die 1. Ableitung einsetzen.
07.03.2016, 03:38	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Steigung wäre dann-0,273.
07.03.2016, 09:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber schreibe dies lieber als Bruch, also $\begin{eqnarray} m_t = -\frac 4 {15} \end{eqnarray}$ mY+
08.03.2016, 14:39	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Vielleicht könnten wir nochmal zusammenfassen, was der Vorzeichenwechsel bringt. Kann ich damit, wenn ich die notwendige Bedingung gemacht habe beim ermitteln eines Extrempunktes bzw. Wendepunktes auf die hinreichende Bedingung verzichten?
09.03.2016, 01:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche hinreichende Bedingung meinst du denn? Und welche ist die notwendige Bedingung? Dies sollten wir zuerst einmal klären. mY+
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09.03.2016, 04:20	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Die notwendige Bedingung ist $\begin{eqnarray} f'(x)=0 \end{eqnarray}$ und die hinreichende Bedingung ist $\begin{eqnarray} f''(x)\neq 0 \end{eqnarray}$
09.03.2016, 06:16	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Das, was ich geschrieben habe gilt für die Bestimmung von Extremstellen. Für die Bestimmung von Wendepunkten gilt, dass die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray} f''(x)=0 \end{eqnarray}$ ist und die hinreichende Bedingung $\begin{eqnarray} f'''(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ ist.
09.03.2016, 06:26	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so Schülersprech. Man muss hier ein wenig differenzieren. $\begin{eqnarray} f'(x_0)=0 \end{eqnarray}$ ist solo eine notwendige Bedingung. $\begin{eqnarray} f''(x_0)\neq 0 \end{eqnarray}$ ist solo keine hinreichende Bedingung, so wie z.B bei $\begin{eqnarray} 6 \, \rm \text{ist Teiler von N } \Rightarrow 3 \, \text {ist Teiler von N} \end{eqnarray}$ für eine hinreichende Bedingung muss man beide zusammenfassen. --------------------------------------------------- Edit: das ganze gilt auch sinngemäß für die Formulierung von Wendepunkten.
09.03.2016, 11:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass auch $\begin{eqnarray} f \ '(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ keinesfalls hinreichend ist, wird bei Terrassenpunkten (Sattelpunkten) evident, denn dort gibt es zwar eine waagrechte Tangente, aber eben keinen Extremwert. Die Prüfung auf VZW der 1. Ableitung an einer Stelle, an der die Funktion stetig ist (!), liefert daher eine wirksame und zugleich eindeutige Aussage über die Existenz einer (relativen) Extremstelle. Beispielsweise findet im Terrassenpunkt (Wendepunkt mit waagrechter Tangente) KEIN VZW statt. () An Unstetigkeitstellen (Sprung-, Polstellen, ..) kann ebenfalls ein VZW der 1. Ableitung stattfinden. mY+
11.03.2016, 13:05	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, und in welchen Fällen ersetzt der Vorzeichenwechsel dann eine notwendige Bedingung, bzw. eine hinreichende Bedingung?
11.03.2016, 16:04	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, dass diese Richtung ins uferlose führt. Festzustellen ist aber: der Vorzeichenwechsel erspart eine Ableitung, was allerdings bei Polynomen unbedeutend ist Der VZW klärt hinreichend ob eine gerade oder ungerade Nullstelle vorliegt Beispiel: ist bei $\begin{eqnarray} f(x):=x^7 \end{eqnarray}$ der Punkt (0,0) ein Extrempunkt ? $\begin{eqnarray} \bullet \end{eqnarray}$ Mit Ableitungen sind 7 Ableitungen notwendig um das zu klären. $\begin{eqnarray} \bullet \end{eqnarray}$ Der VZW(+,+) zeigt, dass $\begin{eqnarray} f'(x)= 7x^6 \end{eqnarray}$ eine gerade Nullstelle bei x=0 hat, es liegt keine Extremstelle vor.
11.03.2016, 20:04	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das ist dann in Ordnung. Dann ist ein Vorzeichenwechsel auch vor allem hilfreich um zu sehen, ob eine Extremstelle positiv oder negativ ist?
12.03.2016, 03:12	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ein VZW kann ist doch geklärt. Trotzdem geht es mit den seltsamen Fragen weiter
12.03.2016, 03:17	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte mich absichern.
12.03.2016, 12:09	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte jemand eine Aufgabe nennen, bei der man den Vorzeichenwechsel machen muss?
12.03.2016, 16:39	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das Bisherige galt für differenzierbare Funktionen. Bei stetigen Funktionen könnte dies der Fall sein. Mir fällt gerade nur $\begin{eqnarray} f(x):= \|x-2\|-1 \end{eqnarray}$ ein Ist der Punkt M(2,-1) ein lokales Extremum, Tiefpunkt ?
12.03.2016, 17:18	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass ich das bisher noch nicht hatte? Die Schreibweise der Funktion kommt mir ungewohnt vor.
12.03.2016, 18:29	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ist eine Betragsfunktion. dann nimm halt $\begin{eqnarray} f(x):=\sqrt{(x-2)^2} -1 \end{eqnarray}$
12.03.2016, 18:50	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man das unter der Wurzel auch als $\begin{eqnarray} x^2-4x-5 \end{eqnarray}$ schreiben?
13.03.2016, 08:01	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
nie und nimmer. Unfug. Und wenn man versucht zu vereinfachen, dann könnte man auf die Idee kommen Wurzel und Quadrat zu kürzen. ----> $\begin{eqnarray} f(x)=(x-2) -1 = x-3 \end{eqnarray}$ das stimmt auch für den rechten Teil. Für den linken Teil erhält man $\begin{eqnarray} f(x) = -(x-2)-1= -x+1 \end{eqnarray}$ insgesamt also $\begin{eqnarray} f(x) := \begin{cases} -x+1 & \text{für} \quad x < 2 \\ x-3 & \text{für} \quad x \geq 2 \end {cases} \end{eqnarray}$
13.03.2016, 08:47	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, vielen Dank.

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