Zentraler Grenzwertsatz der Normalverteilung

01.03.2016, 11:01

Gabi Go

Zentraler Grenzwertsatz der Normalverteilung

Hallo,

ich benötige einen Gedankenanstoß bei der folgenden Aufgabe aus einem englischsprachigen Buch:

Packet transmission times on a certain internet link are independent identical random Variables with mean $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ and variance $\begin{eqnarray*} \sigma ^{2} \end{eqnarray*}$ . Suppose n packets are transmitted. Then the total expected transmission time for the n packets is nm. use the central limit theorem to approximate the probability that the total transmission time for the n packets exceeds twice the expected transmission time.

Die Definition des Grenzwertsatzes: $\begin{eqnarray*} Y_{n} =\frac{1}{\sqrt{n} } \sum\limits_{i=1}^{n} \left(\frac{X_{i}-m }{\sigma } \right) =\frac{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} X_{i} }{n}-m }{\frac{\sigma }{\sqrt{n} } } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E\left(Y_{n} \right) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var\left(Y_{n} \right) =1 \end{eqnarray*}$ für alle reelen n.
Des weiteren sei $\begin{eqnarray*} F_{Y_{n} } \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von $\begin{eqnarray*} Y_{n} \end{eqnarray*}$ .
Es gilt zudem: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } F_{Y_{n} } =\Phi \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefkt einer Standart normal verteilten Zufallsvariable.

Meine Ideen (für die ich Anstoß brauche Augenzwinkern

)

also: Wenn ich sage ich möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen das die gesamte Übertragungszeit die 2 Mal die erwarteteÜbertragungszeit übersteigt, bedeutet das, das ich wissen möchte wann 2*Sigama größer ist als n*m?
Und wie kann ich den Grenzwertsatz nutzen bzw warum ist es hier sinnvoll das über ihn zu berechnen?
Ich danke euch schonmal Wink

01.03.2016, 12:58

Steffen Bühler

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RE: Zentraler Grenzwertsatz der Normalverteilung

Zitat:

Original von Gabi Go
Wenn ich sage ich möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen das die gesamte Übertragungszeit die 2 Mal die erwarteteÜbertragungszeit übersteigt, bedeutet das, das ich wissen möchte wann 2*Sigama größer ist als n*m?

Nein. Du musst ein z bestimmen, für das $\begin{align*} n \cdot (m+ z \cdot \sigma ) \end{align*}$ doppelt so groß ist wie $\begin{align*} n \cdot m \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Gabi Go
Und wie kann ich den Grenzwertsatz nutzen

Weil der Dir erlaubt, aus $\begin{align*} \Phi (z) \end{align*}$ auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu schließen.

Viele Grüße
Steffen

01.03.2016, 14:03

Gabi Go

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Aber das ist doch nicht weiter schwer...

$\begin{eqnarray*} n\left(m + z\sigma \right) = 2nm \end{eqnarray*}$

n kürzenund weiter nach z auflösen liefert $\begin{eqnarray*} z = \frac{m}{\sigma } \end{eqnarray*}$

Und wie kann ich vom Grenzwertsatz auf $\begin{eqnarray*} [latex]n\left(m + z\sigma \right) \end{eqnarray*}$ schließen?

Danke smile

01.03.2016, 15:26

Steffen Bühler

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$\begin{align*} \Phi \left( \frac m {\sigma} \right) \end{align*}$ liefert doch die Wahrscheinlichkeit, dass die Übertragungszeit kleiner als der doppelte Erwartungswert ist. Also kannst Du nun die Gegenwahrscheinlichkeit bestimmen.

01.03.2016, 15:38

HAL 9000

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Da muss ich Steffen widersprechen.

Der ZGWS sagt (s.o.), dass $\begin{align*} Y_n = \frac{\sqrt{n}}{\sigma} \cdot \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - m \right) \end{align*}$ für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ asymptotisch standardnormalverteilt ist.

Wenn nun wie hier beschrieben $\begin{align*} P\left( \sum_{i=1}^n X_i > 2nm\right) \end{align*}$ gesucht ist, so bedeutet das übertragen auf $\begin{align*} Y_n \end{align*}$

$\begin{align*} P\left( \sum_{i=1}^n X_i > 2nm \right) = P\left(Y_n > \frac{m\sqrt{n}}{\sigma} \right) \approx 1-\Phi\left( \frac{m\sqrt{n}}{\sigma} \right) \end{align*}$

01.03.2016, 16:12

Steffen Bühler

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Hups, das ist natürlich korrekt. Die Wahrscheinlichkeit hängt ja von n ab, weil die Standardabweichung eines Pakets konstant bleibt. Mit steigender Paketanzahl wird es also immer unwahrscheinlicher, dass es länger als der doppelte Erwartungswert dauert.

Danke fürs Aufpassen.

01.03.2016, 16:25

HAL 9000

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Das hat der Statistiker in Fleisch und Blut: Erwartungswert wächst linear in $\begin{align*} n \end{align*}$ , Standardabweichung nur proportional $\begin{align*} \sqrt{n} \end{align*}$ .

Wenn da das so wichtige, die Statistik überhaupt erst sinnvoll machende $\begin{align*} \sqrt{n} \end{align*}$ aus der Rechnung plötzlich verschwunden ist, läuten die Alarmglocken. Augenzwinkern

01.03.2016, 17:25

Gabi Go

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Hallo, aber die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bzw das Integral $\begin{eqnarray*} \Phi\left( \frac{m\sqrt{n}}{\sigma} \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{-\infty }^{\frac{m\sqrt{n} }{\sigma } } \! e^{\frac{-t^{2} }{2} } \, dt \end{eqnarray*}$

lässt sich doch gar nicht bestimmen?

01.03.2016, 17:30

HAL 9000

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Was lässt sich nicht bestimmen? Für konkrete $\begin{align*} m,n,\sigma \end{align*}$ gibt diese Formel eine ausrechenbare Wahrscheinlichkeit an - das ist doch "Bestimmung" genug. Augenzwinkern

01.03.2016, 18:11

Gabi Go

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Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{align*} P\left( \sum_{i=1}^n X_i > 2nm \right) = P\left(Y_n > \frac{m\sqrt{n}}{\sigma} \right) \approx 1-\Phi\left( \frac{m\sqrt{n}}{\sigma} \right) \end{align*}$

Mit einer Identität aus dem Skript
$\begin{eqnarray*} \Phi \left(-x\right) = 1-\Phi \left(x\right) \end{eqnarray*}$

kann ich also die Wahrscheinlichkeit so bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \Phi\left( \frac{-m\sqrt{n}}{\sigma} \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{-\infty }^{\frac{-m\sqrt{n} }{\sigma } } \! e^{\frac{-t^{2} }{2} } \, dt \end{eqnarray*}$

Und das ist dann so in der Buchstabenform ausreichend?

Und wie komme ich auf das $\begin{eqnarray*} \frac{m\sqrt{n} }{\sigma } \end{eqnarray*}$

01.03.2016, 18:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gabi Go
Und wie komme ich auf das $\begin{eqnarray*} \frac{m\sqrt{n} }{\sigma } \end{eqnarray*}$

Ich verstehe diese Frage nicht - willst du nochmal ausführlich erklärt haben, wieso $\begin{align*} P\left( \sum_{i=1}^n X_i > 2nm \right) = P\left(Y_n > \frac{m\sqrt{n}}{\sigma} \right) \end{align*}$ gilt, oder was sonst ist noch unklar? verwirrt

01.03.2016, 20:03

Gabi Go

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01.03.2016, 22:02

HAL 9000

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Einfach die eine Ungleichung durch äquivalente Umformungen in die andere überführen:

$\begin{align*} \sum_{i=1}^n X_i &> 2mn \qquad \Biggm| \; :n\\ \frac{\sum\limits_{i=1}^n X_i}{n} &> 2m \qquad \Biggm| \; -m\\ \frac{\sum\limits_{i=1}^n X_i}{n}-m &> m \qquad \Biggm| \; : \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\\ \frac{\frac{\sum\limits_{i=1}^n X_i}{n}-m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} &> \frac{m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\\ Y_n &> \frac{m\sqrt{n}}{\sigma} \end{align*}$

01.03.2016, 22:34

Gabi Go

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Danke HAL 9000

Das heißt wenn ich ein m, n und Sigma gegeben habe nehme ich diese und berechne den genannten ausdruck und brauche dann nur noch in einer Tabelle den Wahrscheinlichkeitswert raussuchen?

02.03.2016, 08:59

Steffen Bühler

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So ist es.

Viele Grüße
Steffen

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