Zusammenhänge Gramsche-Matrix und Jacobi-Determinante

01.03.2016, 17:11	AnnaNatascha	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhänge Gramsche-Matrix und Jacobi-Determinante Meine Frage: Hallo an alle! Ich habe eine Verständnisfrage bezüglich verschiedener Zusammenhänge (dabei geht es nicht konkret um eine spezielle Aufgabe). Nehmen wir an g ist meine Gramsche Matrix und $\begin{eqnarray} J:=\sqrt{det(g)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R:= \| D_{\alpha _{x} }\times D_{\alpha _{y} } \| \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Dann gilt doch, dass R und J im 2-dimensionalen übereinstimmen, oder? D.h. wenn ich zum Beispiel ein Integral über S^2 berechnen will...dann ist es theoretisch egal "was ich berechne"... Das Problem bei R ist doch allerdings (auch wenn es häufig schneller zu berechnen ist), dass es eben nur für Flächen, eingebettet im R^3 funktioniert und nicht für den R^n? Und zur dritten Frage: Wenn meine Jacobimatrix quadratisch ist (also zum Beispiel wenn ich eine Transformation für die Ellipse wähle mit arcos(phi), brsin(phi) oder auch die Kugelkoordinaten verwende, dann gilt doch dass mein J das gleiche ist wie der Betrag der Determinate der Ableitungen, oder? Vielen lieben Dank schon einmal für die Beseitigung meiner Gehirnknoten ;-)
01.03.2016, 17:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhänge Gramsche-Matrix und Jacobi-Determinante Also für $\begin{eqnarray} u : \mathbb R^2 \to \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \| \partial_1 u \times \partial_2 u\| = \sqrt { \det ( \nabla u^T \nabla u) } \end{eqnarray}$ um es sauber aufzuschreiben. Kann man direkt nachrechnen, da die $\begin{eqnarray} 2 \times 2 \end{eqnarray}$ Matrizen eine leichte Formel für die Deterimanante haben. Mit der Identität von Lagrange spart man sich auch noch das meiste rechnen. Für alle anderen Dimensionen ist mir nicht klar, wie man die linke Seite verallgemeinern will. Erhöht man die Dimension im Definitionsgebiet, so werden die Ableitungen in 2 Richtungen nicht genug Informationen liefern und die Gleichheit wird im Allgemeinen nicht gelten. Ändert man die Dimension im Zielgebiet, so ist nicht mehr klar, was wie das Kreuzprodukt zu verallgemeinern ist -- vermutlich gibt es hier mehrere Möglichkeiten, je nach Anwendungsgebiet, und es könnte gut sein, dass es eine schöne gibt, s.d. die Formel stimmt. Zur dritten Frage: Das stimmt und es folgt sofort aus $\begin{eqnarray} \det ( AB) = \det A \det B \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ beide quadratisch $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ Matrizen sind.
01.03.2016, 17:57	AnnaNatascha	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Erklärung und auch danke für den letzten Tipp, das kann das Berechnen manchmal schon einfacher machen ;-)

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