Alle Punkte denselben Abstand von Ebene

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noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Punkte denselben Abstand von Ebene
Meine Frage:
Hallo, smile
ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:
Gegeben ist eine Ebene E.
Bestimmen Sie alle Punkte, die von der Ebene den Abstand 3 haben.


Meine Ideen:
Nun habe ich zuallererst die Hessesche Normalform gebildet

also

Aber so richtig weiß ich nun nicht, wie ich weitermachen soll. Ich stecke irgendwie fest. unglücklich Kann mir hier vielleicht jemand helfen? Wäre wirklich sehr dankbar! smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

In der Hesse'schen Normalform (normierte Koordinatenform) steht rechts zunächst noch Null.
Wenn du dann auf der rechten Seite anstatt der Null schreibst, liegen bereits die Gleichungen der beiden im Abstand 3 zur gegebenen Ebene parallelen Ebenen vor.

mY+
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, aber ich scheine das nicht ganz zu verstehen.
Ich habe dann und ? verwirrt
Das kann ich nicht richtig verstanden haben, oder? Das würde mich doch, glaube ich, nicht weiterbringen in meiner Rechnung? Hammer
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir bitte, bitte jemand hierbei helfen? unglücklich unglücklich Ich verstehe einfach nicht, wie ich meine Gleichungen auflösen soll. Wenn ich drei Unbekannte habe, aber nur zwei Gleichungen, dann ist das GLS doch nicht lösbar? unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle Punkte den selben Abstand von Ebene
Zitat:
Original von noAhnung
Meine Ideen:
Nun habe ich zuallererst die Hessesche Normalform gebildet


Hier ist etwas schief gelaufen. Für die Ebene E müßte die Hessesche Normalform lauten:



Die Gleichungen für die Ebenen mit Abstand 3 lauten dann:

E1:
bzw.
E2:

Und was das Auflösen angeht: du hast jeweils nur eine Gleichung mit drei Unbekannten. Daraus kannst du dann jeweils eine Ebene in Parameterform erstellen, wenn du die Lösung in Parameterform angeben mußt. Setze dazu und . Das x kannst du dann aus der Gleichung der Hesseschen Normalform ausrechnen.
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erst einmal für die Antwort!
Ich fürchte, ich habe es immer noch nicht begriffen. Das mit den Ebenengleichungen macht vollkommen Sinn, da habe ich einfach Hesse'sche Normalform und Ebenengleichungen durcheinander geschmissen. Aber wenn ich und setze, dann verstehe ich noch nicht vollkommen, wohin mich das führt. unglücklich
Ich hätte dann . Ich mein, ich könnte das nun nach oder umstellen und das dann in meine Ebene in Parametergleichung einsetzen, aber inwiefern würde mich das weiterbringen? Ich bekomme dann doch auch wieder nur einen Salat an Unbekannten heraus. Ich scheine es einfach nicht zu begreifen.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht kam es nicht klar rüber. Du mußt diese Gleichung nach x auflösen. smile
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, neuer Versuch! smile Löse ich nach x auf, dann erhalte ich
.
Und laut Parametergleichung heißt es

also

und das durch Äquivalenzumformungen zusammengefasst
? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von noAhnung
Und laut Parametergleichung heißt es


Da nimmst du aber die Parametergleichung der Ebene E. Die hilft uns jetzt aber nicht, denn gesucht ist die Parametergleichung der Ebene E1. Nun denn, jetzt basteln wir alles zusammen:

Für die Ebene E1 gilt:



Und siehe da, was steht da nun?
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die nach x umgestellte Gleichung in die dazugehörigen Vektoren eingetragen, soweit ich das sehe. Und dann steht da nun die Hesse'sche Normalform als Parameterform? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von noAhnung
Und dann steht da nun die Hesse'sche Normalform als Parameterform? verwirrt

Um das genauer zu formulieren:
Ausgehend von der Hesse'schen Normalform habe ich Parameter eingeführt und die sich ergebenden Koordinaten als Vektor hingeschrieben. Rechts vom 2. Gleichheitszeichen habe ich dann in der Tat die Parameterform der Ebene erhalten. Du kannst es ja mal mit der Ebene E2 versuchen. Eigentlich sollte dieses Verfahren auch in der Schule besprochen worden sein.
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Also für Ebene 2 ergibt sich dann:


Und nun muss ich nur noch irgendwie auf meine Punkte kommen... verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ähh, welche Punkte meinst du jetzt? verwirrt
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Punkte, die den Abstand 3 von der gegebenen Ebene haben? smile Oder sind das dann einfach alle Werte, die ich für und einsetzen kann, weil wir ja ohnehin zwei parallele Ebenen zu unserer gegeben Ebene berechnet haben und so jeder Punkt der parallelen Ebene den Abstand 3 haben muss?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von noAhnung
Oder sind das dann einfach alle Werte, die ich für und einsetzen kann, weil wir ja ohnehin zwei parallele Ebenen zu unserer gegeben Ebene berechnet haben und so jeder Punkt der parallelen Ebene den Abstand 3 haben muss?

Korrekt. Das war ja eben der Sinn der Rechnerei mit der Hesse'schen Normalform usw. Augenzwinkern
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaach! Und ganz zuletzt ist mir dann das Licht aufgegangen! Tanzen
Vielen, vielen Dank für die gute Hilfe! Gott
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Alternatives Verfahren:
Mit der Hesseschen Normalform der Ebene E hat man einen Vektor gefunden, der auf der Ebene E senkrecht steht. Wenn man diesen Vektor auf die Länge 3 normiert und dann zu dem Stützvektor der Ebene E addiert oder von ihm subtrahiert und die Ebenengleichung ansonsten unverändert lässt, bekommt ohne sonstige Rechnerei die Gleichungen der beiden parallelen Ebenen im Abstand 3 in Parameterform ohne weitere Rechnerei.
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