Alle Punkte denselben Abstand von Ebene |
01.03.2016, 22:08 | noAhnung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alle Punkte denselben Abstand von Ebene Hallo, ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen: Gegeben ist eine Ebene E. Bestimmen Sie alle Punkte, die von der Ebene den Abstand 3 haben. Meine Ideen: Nun habe ich zuallererst die Hessesche Normalform gebildet also Aber so richtig weiß ich nun nicht, wie ich weitermachen soll. Ich stecke irgendwie fest. Kann mir hier vielleicht jemand helfen? Wäre wirklich sehr dankbar! |
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01.03.2016, 22:45 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der Hesse'schen Normalform (normierte Koordinatenform) steht rechts zunächst noch Null. Wenn du dann auf der rechten Seite anstatt der Null schreibst, liegen bereits die Gleichungen der beiden im Abstand 3 zur gegebenen Ebene parallelen Ebenen vor. mY+ |
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02.03.2016, 07:52 | noAhnung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entschuldige, aber ich scheine das nicht ganz zu verstehen. Ich habe dann und ? Das kann ich nicht richtig verstanden haben, oder? Das würde mich doch, glaube ich, nicht weiterbringen in meiner Rechnung? |
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02.03.2016, 09:58 | noAhnung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann mir bitte, bitte jemand hierbei helfen? Ich verstehe einfach nicht, wie ich meine Gleichungen auflösen soll. Wenn ich drei Unbekannte habe, aber nur zwei Gleichungen, dann ist das GLS doch nicht lösbar? |
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02.03.2016, 10:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Alle Punkte den selben Abstand von Ebene
Hier ist etwas schief gelaufen. Für die Ebene E müßte die Hessesche Normalform lauten: Die Gleichungen für die Ebenen mit Abstand 3 lauten dann: E1: bzw. E2: Und was das Auflösen angeht: du hast jeweils nur eine Gleichung mit drei Unbekannten. Daraus kannst du dann jeweils eine Ebene in Parameterform erstellen, wenn du die Lösung in Parameterform angeben mußt. Setze dazu und . Das x kannst du dann aus der Gleichung der Hesseschen Normalform ausrechnen. |
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02.03.2016, 10:39 | noAhnung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank erst einmal für die Antwort! Ich fürchte, ich habe es immer noch nicht begriffen. Das mit den Ebenengleichungen macht vollkommen Sinn, da habe ich einfach Hesse'sche Normalform und Ebenengleichungen durcheinander geschmissen. Aber wenn ich und setze, dann verstehe ich noch nicht vollkommen, wohin mich das führt. Ich hätte dann . Ich mein, ich könnte das nun nach oder umstellen und das dann in meine Ebene in Parametergleichung einsetzen, aber inwiefern würde mich das weiterbringen? Ich bekomme dann doch auch wieder nur einen Salat an Unbekannten heraus. Ich scheine es einfach nicht zu begreifen. |
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02.03.2016, 10:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht kam es nicht klar rüber. Du mußt diese Gleichung nach x auflösen. |
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02.03.2016, 11:12 | noAhnung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, neuer Versuch! Löse ich nach x auf, dann erhalte ich . Und laut Parametergleichung heißt es also und das durch Äquivalenzumformungen zusammengefasst ? |
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02.03.2016, 11:23 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da nimmst du aber die Parametergleichung der Ebene E. Die hilft uns jetzt aber nicht, denn gesucht ist die Parametergleichung der Ebene E1. Nun denn, jetzt basteln wir alles zusammen: Für die Ebene E1 gilt: Und siehe da, was steht da nun? |
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02.03.2016, 11:30 | noAhnung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast die nach x umgestellte Gleichung in die dazugehörigen Vektoren eingetragen, soweit ich das sehe. Und dann steht da nun die Hesse'sche Normalform als Parameterform? |
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02.03.2016, 11:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um das genauer zu formulieren: Ausgehend von der Hesse'schen Normalform habe ich Parameter eingeführt und die sich ergebenden Koordinaten als Vektor hingeschrieben. Rechts vom 2. Gleichheitszeichen habe ich dann in der Tat die Parameterform der Ebene erhalten. Du kannst es ja mal mit der Ebene E2 versuchen. Eigentlich sollte dieses Verfahren auch in der Schule besprochen worden sein. |
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02.03.2016, 12:14 | noAhnung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also für Ebene 2 ergibt sich dann: Und nun muss ich nur noch irgendwie auf meine Punkte kommen... |
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02.03.2016, 12:47 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ähh, welche Punkte meinst du jetzt? |
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02.03.2016, 12:55 | noAhnung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alle Punkte, die den Abstand 3 von der gegebenen Ebene haben? Oder sind das dann einfach alle Werte, die ich für und einsetzen kann, weil wir ja ohnehin zwei parallele Ebenen zu unserer gegeben Ebene berechnet haben und so jeder Punkt der parallelen Ebene den Abstand 3 haben muss? |
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02.03.2016, 13:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Korrekt. Das war ja eben der Sinn der Rechnerei mit der Hesse'schen Normalform usw. |
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02.03.2016, 13:15 | noAhnung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aaaach! Und ganz zuletzt ist mir dann das Licht aufgegangen! Vielen, vielen Dank für die gute Hilfe! |
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02.03.2016, 13:31 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alternatives Verfahren: Mit der Hesseschen Normalform der Ebene E hat man einen Vektor gefunden, der auf der Ebene E senkrecht steht. Wenn man diesen Vektor auf die Länge 3 normiert und dann zu dem Stützvektor der Ebene E addiert oder von ihm subtrahiert und die Ebenengleichung ansonsten unverändert lässt, bekommt ohne sonstige Rechnerei die Gleichungen der beiden parallelen Ebenen im Abstand 3 in Parameterform ohne weitere Rechnerei. |
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