Ln kürzen

02.03.2016, 17:00

Thermo

Ln kürzen

Meine Frage:
Hallo zusammen.
Ich habe bei einer Aufgabe eine Umformung gesehen was ich nicht nachvollziehen.

Folgendes:
$\begin{eqnarray*} 0=cp*ln(\frac{Tmin}{T1} )-R*ln(\frac{p2}{p1} ) \end{eqnarray*}$

(cp, Tmin, T1, R, p1 und p2 können als variablen behandelt werden)

aufgelöst werden soll auf Tmin.

Lösung:

$\begin{eqnarray*} Tmin=T1*(\frac{p2}{p1}) ^{\frac{R}{cp} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiss das man eine ln Funktion mit e kürzen kann. Aber das was ich nicht verstehe ist, warum die variablen
R und cp exponenten von p1/p2 werden.

Wäre dankbar wenn mir jemand helfen könnte.

02.03.2016, 17:08

Mathema

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Hallo,

es wurde lediglich das Gesetz $\begin{eqnarray*} \log(a^b)=b\log(a) \end{eqnarray*}$ angewendet.

02.03.2016, 17:14

Thermo

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Ln kürzen
Okay erstmal Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Aber das log ist ja dadurch nicht weg gekürzt und wurden die beiden log Klammern zusammen gefasst?

02.03.2016, 17:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathema
es wurde lediglich das Gesetz $\begin{eqnarray*} \log(a^b)=b\log(a) \end{eqnarray*}$ angewendet.

Und zwar mit $\begin{align*} a=\frac{p_2}{p_1} \end{align*}$ und $\begin{align*} b=\frac{R}{c_p} \end{align*}$ .

02.03.2016, 17:21

Mathema

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Was willst du immer mit deinem kürzen? Man kürzt einen Bruch. Das bedeutet Zähler und Nenner durch die gleich Zahl zu dividieren.

$\begin{eqnarray*} 0=cp*ln(\frac{Tmin}{T1} )-R*ln(\frac{p2}{p1} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R*ln(\frac{p2}{p1} )=cp*ln(\frac{Tmin}{T1} ) \end{eqnarray*}$

Jetzt das Logarithmengesetz anwenden und den Numerus vergleichen.

Der Rest ist billiges Gleichungslösen.

02.03.2016, 17:37

Thermo

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Ln kürzen
Sry ich habe sowas so lange nicht mehr gemacht das ich das einfachste nicht mal hinbekomme

also soweit bin ich jetzt

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{p2}{p1} ^{\frac{R}{cp} } )=ln(\frac{Tmin}{T1} ) \end{eqnarray*}$

Danke für die Geduld mit mir Augenzwinkern

02.03.2016, 17:47

Mathema

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Zitat:

Jetzt das Logarithmengesetz anwenden und den Numerus vergleichen.

02.03.2016, 18:03

HAL 9000

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RE: Ln kürzen

Zitat:

Original von Thermo
$\begin{eqnarray*} ln(\frac{p2}{p1} ^{\frac{R}{cp} } )=ln(\frac{Tmin}{T1} ) \end{eqnarray*}$

Man sollte links um den Bruch Klammern setzen, ansonsten könnte das durchaus so missverstanden werden, dass der Exponent nur zum Zähler gehört - zu Recht. unglücklich

D.h.: $\begin{eqnarray*} \ln\left(\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{R}{c_p}} \right) = \ln\left(\frac{T_{\min}}{T_1} \right) \end{eqnarray*}$

02.03.2016, 18:12

Thermo

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RE: Ln kürzen
Okay das stimmt. so müsste das dann richtig sein.

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{p2}{p1} )^{\frac{R}{cp} } =ln(\frac{Tmin}{T1} ) \end{eqnarray*}$

aber wie soll ich denn jetzt den Numerus vergleichen? Letztendlich will ich nur auf Min auflösen

02.03.2016, 18:23

HAL 9000

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Aus $\begin{align*} \ln(u)=\ln(v) \end{align*}$ folgt durch exponenzieren (=delogarithmieren) direkt $\begin{align*} e^{\ln(u)}=e^{\ln(v)} \end{align*}$ , also $\begin{align*} u=v \end{align*}$ .

Was hier $\begin{eqnarray*} \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{R}{c_p}} = \frac{T_{\min}}{T_1} \end{eqnarray*}$ bedeutet.

02.03.2016, 18:27

Thermo

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Ln
Super, Viele dank für eure Hilfen Wink

02.03.2016, 22:16

Mathema

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Zitat:

Okay das stimmt. so müsste das dann richtig sein.

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{p2}{p1} )^{\frac{R}{cp} } =ln(\frac{Tmin}{T1} ) \end{eqnarray*}$

Nö - HAL hat dir das doch richtig aufgeschrieben. Wieso schreibst du es nun wieder verkehrt hin? unglücklich

Natürlich kannst du den Weg über die e-Funktion als Umkehrfunktion gehen, aber es ist doch wohl ersichtlich, dass die linke Seite und rechte Seite nur gleich seien können, wenn der Numerus gleich ist. Bei der Gleichung $\begin{eqnarray*} 2^{x+2}=2^{2x-7} \end{eqnarray*}$ fängst du ja hoffentlich auch nicht mit irgendwelchen Logarithmengesetzen an, sondern machst ein einfachen Exponentenvergleich.

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