Abstand: Schwerpunkt - Eckpunkt (Dreieck)

02.03.2016, 16:25

Kvasil

Abstand: Schwerpunkt - Eckpunkt (Dreieck)

Wie kann ich den Abstand eines Eckpunktes des Dreiecks ABC vom Schwerpunkt S in Formeln angeben?

Nehmen wir z.B. die Länge der Strecke CS.

1.) Ich trage den Punkt $\begin{eqnarray*} Hc \end{eqnarray*}$ (Lot auf c durch C) ein.
2.) Ich zeichne die Seitenhalbierende $\begin{eqnarray*} s_c \end{eqnarray*}$ von c ein und erhalte als Schnittpunkt mit der Seite c den Punkt Mc.

Nun habe ich die Dreiecke $\begin{eqnarray*} H_cCM_c, ACH_c und BCH_c \end{eqnarray*}$

Damit und dem Satz des Pythagoras wollte ich jetzt die Länge der Seite $\begin{eqnarray*} s_c \end{eqnarray*}$ bestimmen:

Für die obigen Dreiecke wende ich den Pythagoras an:

I) $\begin{eqnarray*} (AH_c)^2 + (h_c)^2 = b^2 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} (BH_c)^2 + (h_c)^2 = a^2 \end{eqnarray*}$
III) $\begin{eqnarray*} (H_cM_c)^2 + (h_c)^2 = (s_c)^2 \end{eqnarray*}$ .

Mit I) - II) erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} (H_cM_c)^2 = c^2/4 - (AH_c)^2 - a^2 \end{eqnarray*}$

Und mit I) - III) wiederum

$\begin{eqnarray*} (s_c)^2 = b^2 + (H_cM_c)^2 + (h_c)^2 \end{eqnarray*}$

Insgesamt also

$\begin{eqnarray*} (s_c)^2 = b^2 - a^2 + c^2/4 - (AH_c)^2 + h_c \end{eqnarray*}$ .
verwirrt

Die Länge der gesuchten Strecke ist nun ein Drittel davon, da ja der Schwerpunkt die Seite im Verhältnis 2:1 teilt.

Ist das richtig?

02.03.2016, 18:11

Dopap

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eine Frage: was ist denn vom Dreieck bekannt.

a.) 3 Seitenlängen a b c oder
b.) die Koordinaten der Eckpunkte A B C ?

02.03.2016, 18:20

Kvasil

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Zitat:

Original von Dopap
eine Frage: was ist denn vom Dreieck bekannt.

a.) 3 Seitenlängen a b c oder
b.) die Koordinaten der Eckpunkte A B C ?

Es ist bekannt, dass die Eckpunkte A, B und C heißen und die gegenüberliegenden Seiten a, b und c.
Es sind weder die Koordinaten der Eckpunkte noch die Längen der Seiten bekannt.

Wink

02.03.2016, 18:24

Dopap

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um eine Formel zu erhalten must du dich vorher für a.) oder b.) entscheiden.

Welche Annahme hast du ausgewählt?

02.03.2016, 18:27

Kvasil

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Zitat:

Original von Dopap
um eine Formel zu erhalten must du dich vorher für a.) oder b.) entscheiden.

Welche Annahme hast du ausgewählt?

Dann die Seitenlängen a, b und c.

02.03.2016, 18:34

HAL 9000

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Mit $\begin{align*} x=|H_cM_c| \end{align*}$ folgt für I+II:

$\begin{align*} \left(\frac{c}{2} + x\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - x\right)^2 + 2h_c^2 = a^2+b^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{c^2}{2} + 2x^2 + 2h_c^2 = a^2+b^2 \end{align*}$

Hier setzt du jetzt III ein:

$\begin{align*} \frac{c^2}{2} + 2s_c^2 = a^2+b^2 \end{align*}$ , umgestellt $\begin{align*} s_c^2 = \frac{1}{4}\left( 2(a^2+b^2)-c^2 \right) \end{align*}$ .

Der gesuchte Abstand zum Eckpunkt ist dann aber nicht 1/3, sondern 2/3 von $\begin{align*} s_c \end{align*}$ .

02.03.2016, 18:43

Dopap

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in deiner Rechnung tauchen Streckenlängen von Endpunkten auf die nicht bekannt sind.

Eine Formel wie $\begin{eqnarray*} | \overline {SA} | = ... \end{eqnarray*}$ darf rechts nur die Variablen a b c
enthalten.
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edit: bliebe noch die Frage nach $\begin{eqnarray*} s_c \end{eqnarray*}$ in obiger Rechnung. verwirrt

02.03.2016, 18:56

HAL 9000

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Welche Frage nach $\begin{align*} s_c \end{align*}$ bleibt noch? verwirrt

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