Exponentialverteilung

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Gabi Go Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialverteilung
Suppose the lifetime of batteries are exponentially distributed with mean µ. If the average lifetime 12 batteries is 42 hours, determine 95 percent two sided and upper and lower one-sided confidence intervals for µ.

Also verstehe ich das richtig, dass ich einmal P(X>5 and X<95) und dann P(X>5) und P(X<95)? berechnen soll?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Huch, da liegst du aber ziemlich daneben, und auch gedanklich überhaupt noch sehr, sehr weit weg von der wirklichen Problematik.


Bezeichnen wir mit (hier mit n=12) die einzelnen zufälligen Lebensdauern, die lt. Aufgabenstellung ja -verteilt sind, mit , d.h., gemessen daran ist .

Deren Summe ist dann Erlang-verteilt, d.h. (die Erlangverteilung ist eine spezielle Gammaverteilung) mit zugehöriger Verteilungsfunktion .

Für die konkrete Stichprobe von 12 Batterien wurde ja eine mittlere Lebensdauer von 42h ermittelt, d.h. der konkrete zugehörige Summenwert der Lebensdauern ist .

Das (symmetrische) 95%-Konfidenzintervall für umfasst nun lt. Definition des Konfidenzintervalls alle diejenigen Parameterwerte , für die der Wert in den "mittleren" 95% der Verteilung von liegt, mit der Verteilungsfunktion von ausgedrückt wäre das die Bedingung .

Was ist nun zu tun: Es sind die beiden Gleichungen sowie jeweils numerisch nach aufzulösen (algebraisch auflösen wird wohl kaum gelingen), die erhaltenen Werte sind dann die beiden Intervallenden des gesuchten 95%-Konfidenzintervalls für .
soedermalm Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, es ist in Ordnung, wenn ich diesen Thread für eine zum Thema passende Anschlussfrage weiterverwende:

Angenommen, ich weiß nur, dass bis zu einem bestimmten Zeitpunkt , Batterien ausgefallen sind. Wie komme ich dann weiter? Also wie bestimme ich dann ein Konfidenzintervall für ?
Die Anzahl der ausgefallenen Batterien sollte ja eigentlich einer Binomialverteilung mit unbekanntem Parameter folgen. Wie könnte ich diesen Parameter schätzen? Der naive Ansatz wäre , wenn die Anzahl der Batterien ist.
Und angenommen ich hätte ein Konfidenzintervall für bestimmt, wie komme ich dann zu einem Konfidenzintervall für ?

Ein gedanklicher Anstoß würde mir vorerst vollkommen genügen. Danke im Voraus.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich überlege gerade, wieso ich oben über die Summe der Lebensdauern referiert hatte, darum geht es doch dort gar nicht... na egal, die Fragestellerin hatte sich sowieso nie wieder gemeldet.


Nun zu dir: Die "naive" Schätzung ist durchaus die passende Schätzung für .

Und ist ja die Wahrscheinlichkeit dafür, bis zum Zeitpunkt ausgefallen zu sein, damit ist bei angenommener exponentieller Lebensdauerverteilung. D.h., du kannst von Schätzung rückrechnen zu Schätzung , und das gleichermaßen auch für die untere bzw. obere Grenze des Konfidenzintervalls, d.h.



.
soedermalm Auf diesen Beitrag antworten »

Die Intervalle bzw. überdecken dann bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit?

Ist es beispielsweise möglich aus dem 90% Konfidenzintervall für das 95% Konfidenzintervall für zu erzeugen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von soedermalm
Die Intervalle bzw. überdecken dann bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit?

Ja.

Zitat:
Original von soedermalm
Ist es beispielsweise möglich aus dem 90% Konfidenzintervall für das 95% Konfidenzintervall für zu erzeugen?

Warum sollte man das wollen?
 
 
soedermalm Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann beschränkt sich das Problem auf die Bestimmung eines Konfidenzintervalls für .

Danke!
soedermalm Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe doch noch eine Frage zur Bestimmung des Konfidenzintervalls.

Mir leuchtet zwar ein, warum durch das Clopper-Pearson-Intervall mit der geforderten Mindestwahrscheinlichkeit überdeckt wird.
Aber ich frage mich, wo mein Denkfehler liegt, wenn ich versuche das Konfidenzintervall wie folgt zu bilden:

Die Wahrscheinlichkeit für genau Erfolge bei Versuchen ist ja eigentlich

Kann ich jetzt nicht einfach bilden, das Integral normieren und dann numerisch
nach einer Lösung suchen, für die minimal wird?

Wenn ich das mache, dann bekomme ich ein Intervall mit und .
Und wird, sofern meine Simulation korrekt ist, immer noch mit der geforderten Mindestwahrscheinlichkeit überdeckt.

Mir fehlt irgendwie die theoretische Untermauerung für mein Vorgehen. Ich werde weiter grübeln, wäre aber dankbar für jeden Hinweis.
soedermalm Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich asymmetrisch aufteilen? Also darf ich zwei einseitige Konfidenzintervalle auch dann zu einem zweiseitigen Konfidenzintervall zusammenfassen,
wenn die einseitigen Konfidenzintervalle unterschiedliche Konfidenzniveaus haben? Solange gilt, müsste das doch eigentlich funktionieren?
Oder übersehe ich etwas?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mal langsam: Es geht um ein Konfidenzintervall zum Niveau , d.h., mit

.

D.h., die beiden "Außenwahrscheinlichkeiten" links sowie müssen dann erfüllen. I.d.R. wählt man bei einem zweiseitigen Konfidenzintervall beide gleich groß, also , aber zwingend vorgeschrieben ist das nicht. Womöglich hat man ja andere Prioritäten, etwa dass das Konfidenzintervall möglichst schmal ist o.a.

Zitat:
Original von soedermalm
Solange gilt, müsste das doch eigentlich funktionieren?

Was auch immer du hier mit meinst, jedenfalls gewiss nicht dasselbe wie ich gerade eben. verwirrt
soedermalm Auf diesen Beitrag antworten »

Also bin ich doch nicht ganz verkehrt unterwegs. Danke für die Ausführungen.

Zitat:
Was auch immer du hier mit meinst, jedenfalls gewiss nicht dasselbe wie ich gerade eben.


Im Prinzip schon. Ich meinte sowie .

Also sind wegen

alle Intervalle , für die gilt, Konfidenzintervalle mit einem Konfidenzniveau von mindestens ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von soedermalm

Die bei dieser Rechnung vorausgesetzte Unabhängigkeit ist ganz gewiss nicht erfüllt. unglücklich
soedermalm Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Hammer
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