Beweis cdf pdf einer Zufallsvariablen

02.03.2016, 20:46

Gabi Go

Beweis cdf pdf einer Zufallsvariablen

sei X eine stetige ZV mit der cdf $\begin{eqnarray*} F_{X} \left(x\right) \end{eqnarray*}$ and pdf $\begin{eqnarray*} f_{X} \left(x\right) \end{eqnarray*}$ . Sein a element R und b element R+

Y =bX+a

Zeigen sie das $\begin{eqnarray*} F_{Y} \left(x\right) = F_{X} \left(\frac{x-a}{b} \right) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f_{Y} \left(x\right) = \frac{1}{b} f_{X} \left(\frac{x-a}{b} \right) \end{eqnarray*}$

Also ich habe ja jetzt weder ne Konkrete Fkt gegeben noch weiß ich welche Verteilung es ist.

Das einzige was ich im Skript zu Verschiebungen gefunden habe ist $\begin{eqnarray*} E\left(cZ+d\right) = cE\left(X\right)+d \end{eqnarray*}$

kann ich das irgendwie in dem Fall nutzen? Oder wie muss ich sonst daran gehen?

Vielen lieben Dank! smile

03.03.2016, 07:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gabi Go
Also ich habe ja jetzt weder ne Konkrete Fkt gegeben noch weiß ich welche Verteilung es ist.

Macht nichts - zum Beweis deiner Behauptung genügt die Kenntnis der Definition der Verteilungsfunktion, einsetzen und umformen, d.h.

$\begin{align*} F_Y(x) = P(Y\leq x) = P(bX+a \leq x) = P(bX\leq x-a) \stackrel{!}{=} P\left(X \leq \frac{x-a}{b}\right) = F_X\left( \frac{x-a}{b} \right) \end{align*}$ ,

bei $\begin{align*} \stackrel{!}{=} \end{align*}$ war $\begin{align*} b>0 \end{align*}$ wichtig (für $\begin{align*} b<0 \end{align*}$ ist diese Umformung falsch).

Aus diesem Zusammenhang kann dann auch der für die Dichte gefolgert werden: Die Dichte entspricht ja fast überall der Ableitung der Verteilungsfunktion.

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