Problem mit Definition von lokalen Extrema und hinreichendem Kriterium

02.03.2016, 20:50

MartinL

Problem mit Definition von lokalen Extrema und hinreichendem Kriterium

Hallo,

ich habe aktuell ein kleines Problem, bei dem ich nicht weiß, wie ich es sauber auflösen soll. Meine Definition für lokale Extrempunkte (Beispiel Hochpunkt) lautet:

Ein Graphenpunkt $\begin{eqnarray*} H(x_H|f(x_H) \end{eqnarray*}$ heißt Hochpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wenn es eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_H \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) \leq f(x_H) \end{eqnarray*}$

Das hinreichende Kriterium für lokale Extrema (Vorzeichenwechsel-Kriterium) lautet:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sei in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_E \end{eqnarray*}$ diff'bar und es sei $\begin{eqnarray*} f'(x_E) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Wenn dann die Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_E \end{eqnarray*}$
einen Vorzeichenwechsel von + nach - hat, so liegt an der Stelle ein lokales Maximum von f,
einen Vorzeichenwechsel von - nach + hat, so liegt an der Stelle ein lokales Minimum von f.
Wenn die Ableitung an der Stelle keinen VZW hat, so liegt kein Extremum vor, sondern ein Sattelpunkt.

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Jetzt mein Problem. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ hat laut Definition an jeder Stelle sowohl einen Hochpunkt, wie auch einen Tiefpunkt. Nach dem VZW-Kriterium hat sie aber an jeder Stelle einen Sattelpunkt.

Was ist nun richtig? Ich weiß nicht, wie ich es auflösen soll. Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mir hier weiterhelfen könnte.

Gruß
Martin

02.03.2016, 20:57

tatmas

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Hallo,

Zitat:

sodass für alle $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) \leq f(x_H) \end{eqnarray*}$

das ist so nicht sinnvoll,

Zitat:

sodass für alle $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) < f(x_H) \end{eqnarray*}$

ist deutlich sinnvoller.

02.03.2016, 21:05

MartinL

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Das sehe ich auch so, allerdings habe ich die Definition aus dem Mathebuch zitiert. Im Text darunter steht: "Ein lokaler Hochpnkt ist also ein Graphenpunkt, in dessen unmittelbarer Nachbarschaft es nur tiefer liegende Graphenpunkte gibt. [...]". Das klingt auch nach deiner Definition.

Allerdings findet sich hier auf Wikipedia wieder die Definition aus dem Buch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert

Also muss das ja irgendwie schon einen Sinn haben (denke ich).

Gruß
Martin

02.03.2016, 21:10

10001000Nick1

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Es gibt da einen Unterschied zwischen Extremstellen und strengen Extremstellen.

Z.B. hat eine konstante Funktion an jeder Stelle im Definitionsbereich eine Extremstelle (es sind sogar alle Stellen Maximum und Minimum zugleich), aber keine strenge Extremstelle.

02.03.2016, 21:19

MartinL

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Ok, sehe ich ein, allerdings sehe ich nicht, wie ich das Problem auflösen soll.

Definition lokale Extream sagt: lokaler Extrempunkt JA
Defintion VZW-Kriterium sagt: lokaler Extrempunkt NEIN, dafür Sattelpunkt

Mir würde es schon helfen, wenn ihr auch der Meinung wärt, dass da ein Widerspruch besteht Augenzwinkern

.

Gruß
Martin

02.03.2016, 21:22

tatmas

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@10001000Nick1:
Ich hab den Begriff "strenge Extremstelle" noch nie gehört, mein google findet auch nichts.
Wo hast du den her?
Ich kenne die Unterscheidung: kritischer Punkt /Extrempunkt.

@MartinL:
Es kann auch sein, dass euer Buch einen Unterschied zwischen den Begriffen Hochpunkt und lokales Maximum macht. (ich würde das persönlich allerdings genau andersrum zum Buch gebrauchen).

Definitionen von Begriffen konnen bei verschiedenen Personen verschieden sein, sie sollten halt in sich schlüssig sein (das scheint mir in deinem Buch nicht der Fall zu sein)

P.S. bei "meiner" Def. fehlt noch was, x darf nur aus $\begin{eqnarray*} x \setminus \{x_H\} \end{eqnarray*}$ sein.

02.03.2016, 21:27

10001000Nick1

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@MartinL: Meiner Meinung nach stimmt dein Kriterium für einen Sattelpunkt nicht.

Hinreichend für einen Sattelpunkt ist: $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ hat bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einen Vorzeichenwechsel.

@tatmas: Google mal nach "strikte Extrema" bzw. "striktes Maximum"/"striktes Minimum". Das ist vielleicht etwas gebräuchlicher. Augenzwinkern

02.03.2016, 21:42

MartinL

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Es geht hier erst einmal nur um die Definitionen im Buch, da steht:

1. Definition wie angegeben mit $\begin{eqnarray*} f(x) \leq f(x_H) \end{eqnarray*}$ für einen Hochpunkt
2. "Der Funktionswert im Hochpunkt wird als lokales Maximum der Funktion bezeichnet"
3. Ist $\begin{eqnarray*} f'(x_H)=0 \end{eqnarray*}$ und hat $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_H \end{eqnarray*}$ einen VZW von + nach -, so liegt bei $\begin{eqnarray*} x_H \end{eqnarray*}$ ein lokales Maximum
4. Hat $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_H \end{eqnarray*}$ keinen VZW, so liegt bei $\begin{eqnarray*} x_H \end{eqnarray*}$ kein Extremum, sondern für jede ganzrationale Funktion f ein Sattelpunkt von f vor.

Diese Aussagen stehen verteilt auf zwei Seiten im Buch und passen meiner Meinung nach so einfach nicht zusammen. Mir geht es erst einmal weniger darum, welche der Aussagen eventuell richtig und welche eventuell falsch ist, mir geht es erst einmal nur darum, zu bestätigen, dass das so ist.

Gruß
Martin

02.03.2016, 21:47

tatmas

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Meiner Meinung nach stimmt das Kriterium für einen Sattelpunkt, denn es sagt eigentlich nur:
Ein Sattelpunkt ist jeder Punkt mit Ableitung 0, der weder Hoch - noch Tiefpunkt ist.

@MartinL:
Scheinbar war ich vorher nicht deutlich genug, oder es ist untergegangen:
So wie es sich hier darstellt widerspricht sich dein Buch selbst.

02.03.2016, 23:01

MartinL

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Habe eben den Denkanstoß erhalten, dass das Problem eventuell dadurch gelöst werden kann, dass das Vorzeichen weder wechselt, noch gleich bleibt. Es gibt sozusagen kein Vorzeichen, da die Ableitung der konstanten Funktion überall 0 ist. Somit funktioniert das VZW-Kriterium hier einfach nicht.

Dadurch hätte man die Problematik geschickt umgangen. Schlägt das zurück? Oder kann man das so machen?

Gruß
Martin

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