Separationsansatz, Wahl der Konstanten (partielle DGL)

03.03.2016, 14:43

Luk96

Separationsansatz, Wahl der Konstanten (partielle DGL)

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Wie wähle ich beim Separationsansatz die Form der Konstante? Ich dachte eigentlich, dass das immer c wäre. Aber manchmal ist es auch (-)c^2

Meine Ideen:
Wenn ich das ganze mit c statt -c^2 durchrechne, komme ich am Ende nicht auf das gleiche Ergebnis. Ist es also nicht egal, wie ich die "Form" der Konstanten wähle und wie bestimme ich diese?

Vielen Dank im Voraus

03.03.2016, 14:51

HAL 9000

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Ich kenn jetzt nicht den physikalischen Hintergrund der Geschichte (den es wahrscheinlich gibt). Jetzt mal rein mathematisch betrachtet lässt man allein durch die Konstantenbezeichnung $\begin{align*} K=-c^2 \end{align*}$ dort nur nichtpositive Konstanten zu, wo mathematisch durchaus auch positive Konstanten $\begin{align*} K \end{align*}$ denkbar wären. Aber vielleicht ist ja aus diesen physikalischen Erwägungen klar, dass $\begin{align*} \lim_{t\to\infty} w(t) \end{align*}$ existieren muss o.ä. ...

03.03.2016, 15:04

Luk96

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In der Aufgabenstellung steht noch, dass t>0 ist. Liegt es eventuell daran?

03.03.2016, 15:29

HAL 9000

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Das allein nicht. Aber wie gesagt, wir haben ja die Lösung $\begin{align*} w(t) = w(0)\cdot e^{Kt} \end{align*}$ , die im Fall $\begin{align*} K>0 \end{align*}$ für $\begin{align*} t\to\infty \end{align*}$ unbeschränkt wachsen würde - vielleicht ist das nicht erwünscht? verwirrt

03.03.2016, 17:36

Luk96

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Ich habe mal die Aufgabenstellung hochgeladen. Eventuell liegt es auch an der 2Pi-Periodizität. Wenn dem so wäre verstehe ich dann aber nicht, wieso in der zweiten Aufgabe (ebenfalls als Bild) c^2 als Konstante gewählt wurde...

03.03.2016, 18:12

HAL 9000

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Ja, es liegt an dieser Periodizität - man kommt mit dieser wichtigen Zusatzinfo aber auch mit einem allgemeinen Ansatz

$\begin{align*} \frac{v''(x)}{v(x)}-\frac{1}{4} = \frac{w'(t)}{w(t)} = K \end{align*}$

mit beliebigen reellen $\begin{align*} K \end{align*}$ zum Ergebnis. Also viel Lärm um nichts - der im übrigen hätte vermieden werden können, wenn du gleich die Karten auf den Tisch gelegt hättest. Augenzwinkern

03.03.2016, 18:12

IfindU

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Da HAL gerade nicht da ist:

Ja, es liegt an der Periode. In der Differentialgleichung zu $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist effektiv von der Form $\begin{eqnarray*} v'' + \lambda v = 0 \end{eqnarray*}$ . Das hat zwei sehr unterschiedliche Lösungs"paare" je nachdem ob $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda < 0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ bekommt man Sinus und Cosinus-Terme, für $\begin{eqnarray*} \lambda < 0 \end{eqnarray*}$ bekommt man (nicht-periodische) Exponentialfunktionen.

Edit: HAL ist ja doch da Hammer

04.03.2016, 09:55

Luk96

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Okay vielen Dank smile

Aber warum wurde dann bei der anderen Aufgabe c^2 für die Konstante gewählt? Das steht ja nicht dabei, dass die Funktion periodisch sein soll

04.03.2016, 10:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Luk96
Aber warum wurde dann bei der anderen Aufgabe c^2 für die Konstante gewählt?

Davon sehe ich nichts, hast du wohl nicht gepostet? Wahrscheinlich ebenso Willkür wie bei der ersten Aufgabe.

Musterlösungen sind ja schön und gut, aber ständiges Anstarren derselben und unendliches Grübeln über jeden Schritt kann anscheinend hinderlich sein beim selbständigen Denken:

Einfach mal das vorgesetzte in Frage stellen und so weiterrechnen, wie man es selbst für logisch hält, dann erledigt sich die eine oder andere Frage von selbst.

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