Durchschnittliches Ziehen einer 4er Gruppe aus 24

Neue Frage »

Schlafmuetze Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnittliches Ziehen einer 4er Gruppe aus 24
Meine Frage:
Hallo,

ein Freund fragte mich wie man das lösen kann.
Man hat eine Urne mit 24 verschiedenen Kugeln (numeriert) und einen 17-Seitigen Würfel.
Wenn man eine 17 Würfelt zieht meine eine Kugel aus der Urne, schreibt die Zahl darauf auf und legt die Kugel wieder zurück.
Die Zahlen 1-4, 5-8, 9-12, 13-16, 17-20 und 21-24 gehören jeweils zusammen.
Die Frage lautet wie oft man im Schnitt würfeln muss, bis eine der 4er Gruppen gezogen wurde. (z.B. 5,6,7 und 8 wurden mindestens jeweils einmal gezogen).

Ich hoffe das ist verständlich genug erklärt.

Meine Ideen:
Mein Kumpel und ich haben jeweils 2 verschiedene Ansätze gehabt.

Meiner war:

Man schaut sich erstmal nur eine einzige Gruppe an und schaut nach der Wahrscheinlichkeit diese zu ziehen ohne den anderen Zahlen wirklich Beachtung zu schenken.
Die Chance die erste Zahl aus der Gruppe zu ziehen ist 1 zu 17*(24/4) und somit 1 zu 102.
Da es egal ist eine Zahl doppelt zu ziehen wäre die Chance die nächste Zahl der Gruppe zu ziehen 1 zu 17*(24/3) also 1 zu 136.
Danach kommt 1 zu 17*(24/2) also 1 zu 204 und am Ende 1 zu 17*(24/1) also 1 zu 408. Danach würde ich 102+136+204+408 rechnen, umm die durchschnittlichen Chancen zu addieren und rauszufinden was die Chance ist eine bestimmte Gruppe zu ziehen. Dann komme ich auf 850 Würde, da man aber 6 Gruppen hat ist die Chance 6-mal zu hoch eine der Gruppen zu erhalten, also 850/6 = 141,666666 Würfe im Durchschnitt.



Mein Kumpel hatte eine Etwas andere Idee:
Ein kleines Programm in Mathlab geschrieben:


s=100000;
aantalitems=0;
for i=1:s set=0; X=zeros(24,1);
while set==0

item=randi(24);
X(item,1)=1;

if (X(1,1)==1)&&(X(2,1)==1)&&(X(3,1)==1)&&(X(4,1)==1)
set=1;

elseif (X(5,1)==1)&&(X(6,1)==1)&&(X(7,1)==1)&&(X(8,1)==1)
set=1;

elseif (X(9,1)==1)&&(X(10,1)==1)&&(X(11,1)==1)&&(X(12,1)==1)
set=1;

elseif (X(13,1)==1)&&(X(14,1)==1)&&(X(15,1)==1)&&(X(16,1)==1)
set=1;

elseif (X(17,1)==1)&&(X(18,1)==1)&&(X(19,1)==1)&&(X(20,1)==1)
set=1;

elseif (X(21,1)==1)&&(X(22,1)==1)&&(X(23,1)==1)&&(X(24,1)==1)
set=1;
end
aantalitems=aantalitems+1;
end
gem=aantalitems/s;
end


Leider versteh ich davon leider sehr wenig.
Laut seiner Aussage testet es 10.000 mal wie lange es dauert eine Gruppe zu ziehen, ohne den Würfel mit einzubeziehen, und gibt einen dann den Durchschnittswerd aus. Diesen multipliziert man nur noch mit 17 wegen dem Würfel. Als Ergebnis bekam er ~21,5 heraus, mit 17 Multipliziert kam er also auf der Endergebnis von 365,5 würfen im Durchschnitt.

Er ist sich aber nicht sicher ob das Programm richtig ist.


Hat jemand von uns das richtige Ergebnis, wenn das Programm "richtig" ist, gibt es einen Weg zu zeigen was die durchschnittliche Anzahl von Würfen ist oder liegen wir beide doch komplett daneben?

Vielen Dank schon einmal im Vorraus für die Hilfe und noch einen schönen Abend euch allen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann das durch Simulation erzielte Ergebnis auch theoretisch bestätigen: Exakt kommt heraus Erwartungswert .

Die Herleitung ist einigermaßen kompliziert (zwei ineinander geschachtelte Siebformeln) mit Endergebnis



für Klassen mit jeweils Kugeln sowie Ziehwahrscheinlichkeit für jede einzelne Kugel - in deinem Fall .


Bei Interesse gehe ich auf die gesamte Herleitung von Formel (*) ein.
Schlafmuetzee Auf diesen Beitrag antworten »

Es würde mich sehr Interessieren, wie du auf diese Formel gekommen bist smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wie ich schon sagte: Ich betrachte das ganze mit variablen Parametern:

Klassen zu je Kugeln und Auswahlwahrscheinlichkeit für jede einzelne der Kugeln, und es wird gezogen mit Zurücklegen.

sei nun die zufällige Anzahl an nötigen Ziehungen, bis es erstmalig eine Klasse gibt, aus der jede Kugel schon mindestens einmal gezogen wurde. Um die Verteilung von bzw. letztlich dann den Erwartungswert zu bestimmen, berechne ich die Wahrscheinlichkeit für festes : Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bis einschließlich zur -ten Ziehung noch keine Klasse gibt, aus der jede Kugel schon mindestens einmal gezogen wurde. Für dieses feste betrachten wir nun folgende Ereignisse bezogen auf die Ziehungen :

... Aus Klasse wurde jede Kugel schon mindestens einmal gezogen

Dann ist



gemäß Siebformel (eigentlich müsste der Ausdruck rechts noch komplizierter aussehen, aber der Symmetrie wegen kann man die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts von beliebigen Mengen o.B.d.A. auf den Durchschnitt zurückführen und damit einen "Indexkrieg" vermeiden Augenzwinkern ). beschreibt nun ein Ereignis, dass aus einer Menge von Kugeln in den Versuchen jede Kugel schon mindestens einmal gezogen worden ist - auch das ist per Siebformel berechenbar als

.

Wenn man (2) in (1) einsetzt ergibt sich

,

wobei das "Weglassen" von (und damit auch ) im letzten Schritt mit (Binomischer Satz) begründet werden kann.


Damit haben wir die Verteilung von bereits "im Griff", es fehlt lediglich noch die Erwartungswertberechnung:



letzteres folgt aus der geometrischen Reihenberechnung .


P.S.: Das bekannte Sammelbilderproblem ordnet sich in dem Kontext unter als Spezialfall , mit Ergebnis .

EDIT: Ich sehe gerade, dass nicht nur im Fall eine solche Formelvereinfachung möglich ist, sondern allgemein, d.h. es ist

mit (n-te Partialsumme der Harmonischen Reihe).
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »