Reelle Nullstellen eines Polynoms

04.03.2016, 11:46

Spritzname:

Reelle Nullstellen eines Polynoms

Meine Frage:
Welche Form eines Polynoms muss vorliegen damit diese keine reellen, sondern nur komplexe Nullstellelen hat? Gibt es da ein eindeutiges Aussehen oder muss das per p/q/ Mitternachtsformel bestimmt werden?

Meine Ideen:
Vielleicht pq formel

04.03.2016, 13:32

Steffen Bühler

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RE: Reelle Nullstellen eines Polynoms
Da Du die pq-Formel erwähnst, nehme ich an, es geht nur um quadratische Gleichungen. Da ist bekannterweise eine negative Diskriminante das Indiz für nur nichtreelle Nullstellen.

Bei Polynomen höheren Grades wird es etwas schwieriger. Klar ist, dass Polynome mit ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle haben müssen, denn die Grenzwerte im positiven bzw. negativen Unendlichen haben verschiedene Vorzeichen, der Graph muss also mindestens einmal die x-Achse schneiden.

Bei den anderen Polynomen wird es schwieriger, klare Regeln aufzustellen, ob nur nichtreelle Nullstellen vorhanden sind. Hier ist ein kleines Programm, mit dem Du ein wenig ausprobieren kannst.

Viele Grüße
Steffen

05.03.2016, 15:51

WebFritzi

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Deine Frage ist unpräzise gestellt. Erstens ist da die Frage von Steffen, ob es sich nur um quadratische Polynome handelt. Als zweites fragt sich, ob die betrachteten Polynome komplexe oder nur relle Koeffizienten haben sollen.

07.03.2016, 07:48

Leopold

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RE: Reelle Nullstellen eines Polynoms

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Da Du die pq-Formel erwähnst, nehme ich an, es geht nur um quadratische Gleichungen. Da ist bekannterweise eine negative Diskriminante das Indiz für nur nichtreelle Nullstellen.

$\begin{align*} x^2 + 2 \operatorname{i}x - 2 = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{Diskriminante} = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{Nullstellenmenge} = \left\{ \, 1 - \operatorname{i} \, , \, -1 - \operatorname{i} \, \right\} \end{align*}$

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