Satz von Schwarz

Neue Frage »

DannyNRW Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Schwarz
Habe wieder eine Aufgabe. An sich nicht so schwer... wenn man die Regeln kennt.
Bin mir allerdings unsicher, was diese Regeln angeht und muss da wohl noch etwas üben.

Hier die Aufgabe:
f(x,y) = sin(x² + 2y)
Bestätigen Sie den Satz von Schwarz, dass fxy = fyx

Zum Verständnis:
Ich leite also nun die Funktion jeweils nach x und nach y ab und erhalte folgendes:
fx = cos (x² + 2y) * 2x
fy = cos (x² + 2y) * 2

Nun nehme ich fx und leite dieses nochmals nach y ab. Umgekehrt nehme ich fy und leite nochmals nach x ab. Heraus kommen die Ableitungen fxy und fyx, die nach dem Satz von Schwarz logischerweise gleich sein sollten.
Meine Fragen: Ich meine, ich hätte mal gehört, hier muss ich die Produktregel nicht anwenden. Warum ist das so?

Hier mal meine Ergebnisse für fxy und fyx:

fxy = -sin (x² + 2y) * 2x * 2
fyx = -sin (x² + 2y) * 2 * 2x
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Schwarz
Die Ergebnisse stimmen.
Im Prinzip muß man die Produktregel immer anwenden, wenn die Funktion entsprechend gestaltet ist. Nur ist hier, wenn man fx nach y ableitet, 2x wie ein konstanter Vorfaktor zu betrachten. Oder anders: Streng nach Kettenregel wäre d(2x)/dy = 0.
DannyNRW Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt also, hätte die Funktion VOR der ersten Ableitung so ausgesehen, hätte ich die Produktregel anwenden müssen?
Ist es denn IMMER so, dass NACH der ersten Ableitung keine Produkt-/Quotientenregel mehr angewandt werden muss?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, die Ableitung von
cos (x² + 2y) * 2x
nach x erfordert natürlich die Produktregel.

Zitat:
Ist es denn IMMER so, dass NACH der ersten Ableitung keine Produkt-/Quotientenregel mehr angewandt werden muss?

Natürlich nicht, man kann sich doch beliebig komplizierte Funktionen ausdenken. Hier hätte z. B. schon
f(x,y) = sin(x²y + 2y)
gereicht.
DannyNRW Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dieser Aufgabe würdest Du mich wohl schon aus der Bahn werfen.
Hab mal jeweils die erste Ableitung gemacht:

Zunächst die Aufgabe: f(x,y) = sin (x² * y + 2y)

fx = cos (x² * y + 2y) * (2x * y)
fy = cos (x² * y + 2y) * (x² + 2)
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Geht durch.
Dann jetzt fxy und fyx.
 
 
DannyNRW Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nun einfach mal der Versuch meiner zweiten Ableitungen:

Zunächst fxy:

Hier muss die Produktregel angewandt werden, die da lautet: u' * v + u * v'

u = cos (x² * y + 2y)
v = 2x * y
u' = -sin (x² * y + 2y) * (x² + 2)
v' = 2x

fxy = [-sin (x² * y + 2y) * (x² + 2) ] * [(2x * y)] + [cos (x² * y + 2y)] * [2x]


Und dann noch fyx:

u = cos (x² * y + 2y)
v = x² +2
u' = -sin (x² * y + 2y) * (2x * y)
v' = 2x

fyx = [-sin (x² * y + 2y) * (2x * y)] * [(x²+2)] + [cos (x² * y + 2y)] * [2x]

Kam tatsächlich sogar das gleiche heraus, wie es sein sollte. Habe die einzelnen "Bauteile" einfach in eckige Klammern gepackt und hoffe, man kann den Ausdruck so etwas besser erkennen.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

gilt der Satz auch für die 6 Permutation mit den Variablen x,y,z ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn alle partiellen Ableitungen dritter Ordnung existieren und stetig sind, dann ja.

Allgemeiner: Wenn eine Funktion -mal stetig partiell differenzierbar ist, dann kann man bei allen partiellen Ableitungen der Ordnung die Reihenfolge der Differentiation beliebig vertauschen.
DannyNRW Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal zum Thema Vorfaktor... Wenn ich wirklich nur eine Zahl bzw. einen Multiplikator in der Aufgabe stehen habe, muss ich die Produktregel nicht anwenden, oder?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nein, musst du nicht. Bei konstanten Faktoren gilt die Faktorregel.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »