Satz von Schwarz |
04.03.2016, 12:39 | DannyNRW | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Satz von Schwarz Bin mir allerdings unsicher, was diese Regeln angeht und muss da wohl noch etwas üben. Hier die Aufgabe: f(x,y) = sin(x² + 2y) Bestätigen Sie den Satz von Schwarz, dass fxy = fyx Zum Verständnis: Ich leite also nun die Funktion jeweils nach x und nach y ab und erhalte folgendes: fx = cos (x² + 2y) * 2x fy = cos (x² + 2y) * 2 Nun nehme ich fx und leite dieses nochmals nach y ab. Umgekehrt nehme ich fy und leite nochmals nach x ab. Heraus kommen die Ableitungen fxy und fyx, die nach dem Satz von Schwarz logischerweise gleich sein sollten. Meine Fragen: Ich meine, ich hätte mal gehört, hier muss ich die Produktregel nicht anwenden. Warum ist das so? Hier mal meine Ergebnisse für fxy und fyx: fxy = -sin (x² + 2y) * 2x * 2 fyx = -sin (x² + 2y) * 2 * 2x |
||||
04.03.2016, 12:51 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Satz von Schwarz Die Ergebnisse stimmen. Im Prinzip muß man die Produktregel immer anwenden, wenn die Funktion entsprechend gestaltet ist. Nur ist hier, wenn man fx nach y ableitet, 2x wie ein konstanter Vorfaktor zu betrachten. Oder anders: Streng nach Kettenregel wäre d(2x)/dy = 0. |
||||
04.03.2016, 15:11 | DannyNRW | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das heißt also, hätte die Funktion VOR der ersten Ableitung so ausgesehen, hätte ich die Produktregel anwenden müssen? Ist es denn IMMER so, dass NACH der ersten Ableitung keine Produkt-/Quotientenregel mehr angewandt werden muss? |
||||
04.03.2016, 15:25 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das heißt, die Ableitung von cos (x² + 2y) * 2x nach x erfordert natürlich die Produktregel.
Natürlich nicht, man kann sich doch beliebig komplizierte Funktionen ausdenken. Hier hätte z. B. schon f(x,y) = sin(x²y + 2y) gereicht. |
||||
04.03.2016, 16:10 | DannyNRW | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit dieser Aufgabe würdest Du mich wohl schon aus der Bahn werfen. Hab mal jeweils die erste Ableitung gemacht: Zunächst die Aufgabe: f(x,y) = sin (x² * y + 2y) fx = cos (x² * y + 2y) * (2x * y) fy = cos (x² * y + 2y) * (x² + 2) |
||||
04.03.2016, 16:22 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Geht durch. Dann jetzt fxy und fyx. |
||||
Anzeige | ||||
|
||||
04.03.2016, 16:32 | DannyNRW | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier nun einfach mal der Versuch meiner zweiten Ableitungen: Zunächst fxy: Hier muss die Produktregel angewandt werden, die da lautet: u' * v + u * v' u = cos (x² * y + 2y) v = 2x * y u' = -sin (x² * y + 2y) * (x² + 2) v' = 2x fxy = [-sin (x² * y + 2y) * (x² + 2) ] * [(2x * y)] + [cos (x² * y + 2y)] * [2x] Und dann noch fyx: u = cos (x² * y + 2y) v = x² +2 u' = -sin (x² * y + 2y) * (2x * y) v' = 2x fyx = [-sin (x² * y + 2y) * (2x * y)] * [(x²+2)] + [cos (x² * y + 2y)] * [2x] Kam tatsächlich sogar das gleiche heraus, wie es sein sollte. Habe die einzelnen "Bauteile" einfach in eckige Klammern gepackt und hoffe, man kann den Ausdruck so etwas besser erkennen. |
||||
04.03.2016, 16:38 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
04.03.2016, 17:30 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gilt der Satz auch für die 6 Permutation mit den Variablen x,y,z ? |
||||
04.03.2016, 18:09 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn alle partiellen Ableitungen dritter Ordnung existieren und stetig sind, dann ja. Allgemeiner: Wenn eine Funktion -mal stetig partiell differenzierbar ist, dann kann man bei allen partiellen Ableitungen der Ordnung die Reihenfolge der Differentiation beliebig vertauschen. |
||||
05.03.2016, 16:56 | DannyNRW | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also nochmal zum Thema Vorfaktor... Wenn ich wirklich nur eine Zahl bzw. einen Multiplikator in der Aufgabe stehen habe, muss ich die Produktregel nicht anwenden, oder? |
||||
05.03.2016, 18:10 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, musst du nicht. Bei konstanten Faktoren gilt die Faktorregel. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |