Eigenwerte und Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit |
| 04.03.2016, 13:52 | arni19102 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Eigenwerte und Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit Hallo ich habe folgende Matrix gegeben : 5 4 4 4 5 4 4 4 5 und soll daraus die EIgenwerte und Eigenvektoren Ermitteln. Und danach die Matrix angeben die , diese gegebene Matrix diagonalisiert . Ich habe diese Aufgaben in Mathematischen Methoden aus Physik Bekommen und dort fehlen mir Theorie Hintergründe die Ich gerne Verstehen würde . Wäre nett wenn mir jemand helfen kann ! 
Meine Ideen: Ich weis wie Eigenwerte u Eigenvektoren berechnet werden . Die elemente auf der Hauptdiagonale - Lambda rechnen und von dieser Matrix die Determinanten errechnen und die Nullsetzen . Ergibt bei mi einen Doppelten wert . l1==l2=1 , l3=13 Eigenvektoren ersetzt man in der vorigen Matrix Lambda mit den Werten von vorhern und rechnet mal einem Vektor b(x,y,z) was gleich dem 0 Vektor sein soll. sodass man 3 Gleichungen hat . Nun wählt man x,y,z so dass diese Gleichung erfüllt ist . Ich habe für den Wert l3=13 v3=( 1,1,1) und für l1=l2=1 v1=(1,-1,0) . ergibt die Matrix s(v1,v2,v3) Was Ich wissen will ist was mache ich mit disem doppelten wert ? da Fehlt mir doch ein Vektor . Und wann soll man diese Vekoren nomieren( Betrag =1 ) , manchmal machen wir das und manchmal nicht .? Und wie kann ich dann überprüfen ob die Matrix diagonalisiert ? Ich kenne die Gleichung (alles Matrizen). Ich bin da immer verwirrt was kommt da Hinein manchmal wird S^-1 und manchmal s^T(Transponierte ) Matrix genommen.? |
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| 04.03.2016, 14:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Eigenwerte u Eigenvektoren , Diagonalisierbarkeit.
Um das in einfachen Worten zu fassen: man bestimmt den Eigenraum zu einem Eigenvektor Lambda, indem man den Kern der Matrix bestimmt. In deinem Fall hast du für den Eigenwert 1 leider nur den "halben" Kern bestimmt. Sprich: das Gleichungssystem hat noch eine weitere Lösung, die von deiner Lösung linear unabhängig ist. 
Eine klare Richtlinie habe ich im Moment leider auch nicht. |
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| 04.03.2016, 14:50 | arni19102 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo und danke für deine Rasche Antwort . Genau das GlG_system hab ich auch .Hmm Linear unabhängig bedeutet doch so etwas wie die weitere Lösung lässt sich durch kein Vielfaches ( Linearkombination) der bereits gegebenen Lösung darstellen. Wie finde Ich diese Lösung nun? Kann ich zb x,y,z so wählen ( -1,-1,2) sodass, diese Gleichung 4x+4y+4z=0 noch erfüllt ist ? |
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| 04.03.2016, 14:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da hilft eine gute Kenntnis des Gauß-Verfahrens.
Das ginge. Einfacher wäre aber in meinen Augen die Lösung (1,0,-1).
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| 04.03.2016, 15:36 | arni19102 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah ok , den hab ich schon mal gehört
.Verstehe ich das Richtig wenn die Gleichungen etwas komplizierter als hier sind soll ich den Gauß machen ? Und wenn ichs Gleiche erkennen wie hier dann einfach direkt die Werte wählen? Ja da hast du recht ! 
Dann kann ich die Matrix aufstellen , ok ! Danach muss ich die invertieren und diese angebene Gleichung überprüfen
Mein professor hat gesagt man kann v1 und v3 Kreuzprodukt machen sodass sich v2 ergibt und mit dem dann weiter rechnen und kann die Transponierte MNatrix verwenden anstatt der invertierten das hab ich nicht wirklich verstanden , soll das auch gehen? |
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| 04.03.2016, 17:43 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit
Hierzu würde ich als Einwurf zwischendurch folgende Richtlinie vorschlagen: Wenn die Basis aus Eigenvektoren schon orthogonal ist, lohnt es sich, diese zu normieren, denn dann ist die Basiswechselmatrix S orthogonal und somit deren Inverse gleich der Transponierten. Damit dürfte auch folgende Unklarheit mitbeantwortet sein:
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| 04.03.2016, 19:16 | arni19102 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Eigenwerte und Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit Hallo Klaus ; Das Klingt für mich Kompliziert :P Hab ich das richtig verstanden? Meinst du für die Matrix bestehend aus 3 Vektoren S=(v1,v2,v3) wenn jeder Vektor v1,v2,v3 auf die Länge( Betrag) =1 nomiert wird . Dann ist S orthogoanl was bedeutet Ich kann die Transponierte Matrix benutzen da sie gleich der Inversen ist . |
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| 04.03.2016, 19:38 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Eigenwerte und Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit Wenn v1, v2, v3 eine Orthogonalbasis sind und dann noch normiert werden, dann sind sie eine Orthonormalbasis und dann ist orthogonal mit . Weiter will ich klarsoweit aber nicht vorgreifen. |
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| 04.03.2016, 19:42 | arni19102 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das würde dann den weg des Invertierens was natürlich aufwendig sein kann ersparren ! Cool danke dir auf jeden Fall für deine Hilfe !
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