Explizite Formel für Folgeglied bestimmen

04.03.2016, 17:32

Lox96

Explizite Formel für Folgeglied bestimmen

Meine Frage:
Wie kann ich eine explizite Formel für an?

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} =3a_{n} +5 \end{eqnarray*}$ a0=2

Meine Ideen:
Berechnen der ersten paar Folgenglieder und..?

04.03.2016, 18:21

HAL 9000

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Grundsätzlich erinnert diese Rekursion ja an eine geometrische Folge $\begin{align*} c\cdot 3^n \end{align*}$ , allerdings haben wir noch das Störglied 5 - das kann man durch einen Offset $\begin{align*} d \end{align*}$ im Ansatz $\begin{align*} a_n = c\cdot 3^n +d \end{align*}$ kompensieren. Einsetzen dieses Ansatzes sowohl in die Rekursionsgleichung $\begin{align*} a_{n+1}=3a_n+5 \end{align*}$ sowie in $\begin{align*} a_0=2 \end{align*}$ liefert passende Parameter $\begin{align*} c \end{align*}$ und $\begin{align*} d \end{align*}$ .

04.03.2016, 19:20

Lux96

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Ich verstehe dass nicht..

Wie bekomme ich c*3^n+d ?

Ist d=2 oder? unglücklich

04.03.2016, 19:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Einsetzen dieses Ansatzes sowohl in die Rekursionsgleichung $\begin{align*} a_{n+1}=3a_n+5 \end{align*}$ sowie in $\begin{align*} a_0=2 \end{align*}$

heißt:

$\begin{align*} c\cdot 3^{n+1}+d &= 3c\cdot 3^n + 3d + 5\\ c+d &= 2 \end{align*}$ .

04.03.2016, 19:34

Lux96

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Und was ist die explizite Formel hier?

04.03.2016, 19:44

HAL 9000

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Nochmal: Die explizite Darstellung hatte ich oben schon genannt, nämlich $\begin{align*} a_n = c\cdot 3^n +d \end{align*}$ .

Mit dem Einsetzen und dem damit entstehenden Gleichungssystem kann man die passenden Parameter $\begin{align*} c,d \end{align*}$ bestimmen.

05.03.2016, 05:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lux96
Ich verstehe dass nicht..

Wie bekomme ich c*3^n+d ?

Ist d=2 oder? unglücklich

Nein, -5/2... Es ist doch so:
$\begin{eqnarray*} a_1 &=& 3a_0 + 5\\ a_2 &=& 3^2a_0 + 3\cdot 5 + 5\\ a_3 &=& 3^3a_0 + 3^2\cdot 5 + 3\cdot 5 + 5\\ a_4 &=& 3^4a_0 + 3^3\cdot 5 + 3^2\cdot 5 + 3\cdot 5 + 5 \end{eqnarray*}$
Und so weiter. Also gilt
$\begin{eqnarray*} <br /> a_n = 3^na_0 + 5\cdot\sum_{k=0}^{n-1}3^k.<br /> \end{eqnarray*}$
Nun ist der zweite Summand eine geometrische Summe. Wenn man die nun in eine "geschlossene Form" bringt, sieht man, dass HAL 9000 recht hat.

05.03.2016, 08:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von WebFritzi
Wenn man die nun in eine "geschlossene Form" bringt, sieht man, dass HAL 9000 recht hat.

Dass der Ansatz $\begin{align*} a_n=c\cdot 3^n+d \end{align*}$ klappt, sieht man bereits hier:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} c\cdot 3^{n+1}+d &= 3c\cdot 3^n + 3d + 5 \end{align*}$ .

weil man das $\begin{align*} n \end{align*}$ (was evtl. hätte Ärger machen können) komplett rauskürzen kann.

Übrigens kann man die Rekursion $\begin{align*} a_{n+1}=3a_n+5 \end{align*}$ auch als eine sehr einfache Inhomogene Lineare Differenzengleichung betrachten. Mein Lösungsansatz oben ordnet sich auch in diese Theorie ein (obwohl man diese in Gänze für diese einfache Folge hier natürlich nicht benötigt).

05.03.2016, 15:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von HAL 9000
Dass der Ansatz $\begin{align*} a_n=c\cdot 3^n+d \end{align*}$ klappt, sieht man bereits hier:

Nun gut, aber nicht jeder ist so erfahren um auf diesen Ansatz zu kommen. Ich wollte nur aufzeigen, dass eine schnelle Rechnung auch zum Ziel führt.

Darüberhinaus mag ich eigentlich solche "Ansätze" zum Lösen von Problemen nicht so gern (auch bei DGLs etc.). Sie mögen zwar oft sehr effizient sein, jedoch fallen sie mehr oder weniger vom Himmel und tragen dadurch nicht besonders zum Verständnis bei.

Übrigens sollte man IMHO schlussendlich noch per Induktion zeigen, dass die gefundene geschlossene Form tatsächlich die definierte Folge darstellt.

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