Ist die Differentialgleichung linear?

05.03.2016, 13:42	Diffgl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Differentialgleichung linear? $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{ \partial x^2} u(x,y) + \frac{\partial^2}{ \partial y^2} u(x,y) = 0 \end{eqnarray}$ Lineare Differentialgleichungen haben die Form $\begin{eqnarray} y_d^{(m)} (t) = g_d (t) + \sum_{j=0}^{{m-1}} \sum_{k=1}^d \alpha_{d,j,k} (t) y_k^{(j)} (t) \end{eqnarray}$ Hier wäre also $\begin{eqnarray} g(t)=0 \forall t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha (t) =0 \forall t \end{eqnarray}$ . Mein Problem ist nur, dass ich nicht weiß, ob $\begin{eqnarray} y_d^{(m)} (t) = \frac{\partial^2}{ \partial x^2} u(x,y) + \frac{\partial^2}{ \partial y^2} u(x,y) \end{eqnarray}$ sein darf, oder nicht, weil $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{ \partial x \partial y} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{ \partial y \partial x} \end{eqnarray*}$ fehlen.
05.03.2016, 15:45	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Form, die du angibt, gilt aber nur für gewöhnliche DGLs. Hier hast du eine partielle DGL (PDE im englischen). Allgemein kann man sagen: Eine DGL ist genau dann linear, wenn die Summe von Lösungen wieder eine Lösung ist und wenn Vielfache einer jeden Lösung wieder eine Lösung ist.
05.03.2016, 16:46	Diffgl	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
05.03.2016, 19:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wäre vorsichtig mit der Formulierung von WebFritzi: So ist eine Differentialgleichung linear, wenn die Differentialgleichung in der unbekannten Funktion linear ist. So könnte eine Differentialgleichung nichtlinear sein, und z.B. nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray} u = 0 \end{eqnarray}$ zulassen. In dem Fall ist der Lösungsraum linear, aber nicht die Differentialgleichung. Oder es könnte natürlich auch keine Lösung existieren usw.
05.03.2016, 19:28	Diffgl	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Ich bin mir jetzt nicht wirklich sicher, wie ich es zeigen soll. In der Vorlesung hatten wir nämlich nur die Formel $\begin{eqnarray} y_d^{(m)} (t) = g_d (t) + \sum_{j=0}^{{m-1}} \sum_{k=1}^d \alpha_{d,j,k} (t) y_k^{(j)} (t) \end{eqnarray*}$ ...
06.03.2016, 07:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie WebFritzi schon sagte ist die Formel nur für Funktionen mit einer Variable, nämlich $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ . Hier hast du $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ , daher ist es denkbar ungeeignet. Wie man es allgemein zeigen würde: Die Differentialgleichung hat die Form $\begin{eqnarray} F : \mathbb R^{2 \times 2} \to \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F \left ( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) := a + d \end{eqnarray}$ oder kurz $\begin{eqnarray} F(A) = tr A \end{eqnarray}$ . Damit kann man schreiben $\begin{eqnarray} F( \nabla^2 u(x,y)) = \frac{\partial^2}{ \partial x^2} u(x,y) + \frac{\partial^2}{ \partial y^2} u(x,y) \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{ \partial x^2} u(x,y) + \frac{\partial^2}{ \partial y^2} u(x,y) = 0 \iff F( \nabla^2 u(x,y)) = 0 \end{eqnarray}$ . Die Differentialgleichung heißt linear, falls $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ linear ist.
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06.03.2016, 14:27	Diffgl	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!

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