e-Funktion ableiten

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05.03.2016, 16:17	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
e-Funktion ableiten Ich möchte die Funktion x*e^x-e^x ableiten. Wie mache ich das am besten mit der Produktregel?
05.03.2016, 16:28	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e-Funktion ableiten Guten Tag, 1. bis jetzt hast Du noch gar keine Funktion sondern einen Term; 2. $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ ausklammern, dann besteht der Funktionsterm aus einem Produkt.
05.03.2016, 17:13	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also sollte ich immer zuerst schauen, ob ich was ausklammern kann?
05.03.2016, 17:27	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nein, aber du wolltest die Produktregel anwenden. Im Übrigen kan man die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x e^x - e^x \end{eqnarray}$ auch nur mit Produktregel ableiten.
05.03.2016, 17:51	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Generell ist es aber besser, wenn man erstmal ausklammert?
05.03.2016, 18:04	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann man nicht pauschal sagen. Es kommt immer auf die konkrete Aufgabe an. Auch Klammern aufzulösen kann manchmal von Vorteil sein. Habe mich nur eingemischt,weil Bürgi grade offline ist.
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05.03.2016, 19:16	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay und jetzt könnte ich mit der Produktregel weitermachen?
05.03.2016, 19:20	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja. Du kannst ja dein Ergebnis hier posten und wir sehen uns das an. Solltest du noch Unterstützungsbedarf haben, dann bekommst du sie hier.
05.03.2016, 19:37	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich ausklammer: $\begin{eqnarray} e^x(x) \end{eqnarray}$ Weil wenn ich $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ ausklammer bleibt x übrig.
05.03.2016, 20:26	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das ist leider falsch. Beim Ausklammern musst du jeden Summanden durch den Faktor teilen, der vor die Klammer kommt. Das Ergebnis dieser Division kommt in die Klammer. $\begin{eqnarray} f(x)= x e^x - e^x = e^x \cdot \left(\frac{x e^x}{e^x} - \frac{e^x}{e^x} \right) \end{eqnarray}$ ... und jetzt du.
05.03.2016, 21:56	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Hinweis. Wäre es dann $\begin{eqnarray} e^x(e^x-1) \end{eqnarray}$ ?
05.03.2016, 21:59	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Nein. Sieh dir noch einmal den ersten Quotienten in der Klammer an.
05.03.2016, 22:04	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, dann ist es $\begin{eqnarray} e^x(x-1) \end{eqnarray}$
05.03.2016, 22:08	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Jetzt stimmt es Und nun mit Produktregel ableiten.
05.03.2016, 22:18	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Aufschreiben der beiden Brüche war sehr hilfreich. Wie mache ich das?
05.03.2016, 22:22	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich vermute, dass du wissen willst, wie man die Produktregel anwendet. Schreib mal die Formel auf.
05.03.2016, 22:24	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich meinte wie du in deinem Beitrag von 20:26 Uhr auf das in der Klammer gekommen bist.
05.03.2016, 22:26	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, So wird das in der 7. Klasse eingeführt (in Niedersachsen ) EDIT: Ich mache für heute erst mal Schluss.
05.03.2016, 22:29	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir bitte erläutern, wie man darauf kommt?
06.03.2016, 07:32	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, Klammern auflösen und Klammern setzen sind gegensätzliche Operationen auf Summen: Eine Klammer wird aufgelöst, indem jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert wird; eine Klammer wird gesetzt, indem jeder Summand durch den Faktor vor der Klammer dividiert wird. Beispiel: $\begin{eqnarray} a(b+c)=a \cdot b + a \cdot c \end{eqnarray}$ Aus der Summe a + b soll der Faktor x ausgeklammert werden (vielleicht gibt es ja einen sachlichen Grund dafür ): $\begin{eqnarray} a+b= x \cdot \left(\frac{a+b}x\right)=x \cdot \left(\frac ax+\frac bx \right) \end{eqnarray}$ Wie Du siehst: In beiden Fällen handelt es sich um eine Anwendung des Distributivgestzes. Hinweis: Ich bin ab jetzt den ganzen Tag offline. Bei weiteren Fragen wird dir jemand anderes weiterhelfen können. Viel Erfolg!
06.03.2016, 08:35	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das ist für das allgemeine Verständnis sehr gut. Kann man das vielleicht auf unser Beispiel $\begin{eqnarray} e^x(x-1) \end{eqnarray}$ übertragen: also dass man beispielsweise sagt $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ steht vor der Klammer(nachdem es ausgeklammert wurde), deshalb steht es bei der Klammer $\begin{eqnarray} f(x)= x e^x - e^x = e^x \cdot \left(\frac{x e^x}{e^x} - \frac{e^x}{e^x} \right) \end{eqnarray}$ im Nenner?
06.03.2016, 15:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Man wird es aber in der Realität nicht so hinschreiben, denn die Brüche in der Klammer können ja sofort gekürzt werden (und das müssen sie im Allgemeinen auch). Wenn man also einen Faktor ausklammert, sind alle Summanden sofort im Geiste durch den ausgeklammerten Faktor zu dividieren. Die Division ist ja immer durch Kopfrechnung leicht zu realisieren. $\begin{eqnarray} 37x^2-111x = 37x(x-3) \end{eqnarray}$ .. Hier wurde duch $\begin{eqnarray} 37x \end{eqnarray}$ dividiert. Es gibt natürlich auch Szenarien, bei denen man "mehr" ausklammern muss, als eigentlich "geht". Die Gründe dafür können vielfältig sein, z.B. soll vor der Klammer $\begin{eqnarray} 3x^2 \end{eqnarray}$ stehen: $\begin{eqnarray} 2x - 3x^2 = 3x^2(\frac {2x}{3x^2}-1) = 3x^2(\frac 2 {3x}-1) \end{eqnarray}$ Hier macht das Dividieren in der Klammer durchaus Sinn und es ist sogar notwendig. Die Probe macht man übrigens immer mittels Ausmultiplizieren, da muss sich klarerweise wieder der Anfangsterm ergeben. mY+
06.03.2016, 15:35	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke, das ist verständlich. Ich denke das zweite Szenario, das du angesprochen hast wird so eher nicht dran kommen. Kannst du mir vielleicht ein paar Terme sagen, bei denen ich ausklammern muss? Dann kann man überprüfen, ob ich es richtig mache.
06.03.2016, 15:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{15u^2v+20uv^2}{12uv+16v^2} = ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{6x^2+9xy}{4x^2-9y^2} = ... \end{eqnarray}$ Nenner: Zerlegung mittels binomischer Formel $\begin{eqnarray} \frac {xe^{3x} + xe^{2x}}{2xe^{2x} + 2xe^x} = ... \end{eqnarray}$ mY+
06.03.2016, 16:09	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön. Sorry, das hatte ich vergessen zu erwähnen, ich meinte eher sowas wie vorher das $\begin{eqnarray} xe^x-e^x \end{eqnarray*}$ Meinst du, das ginge auch?
06.03.2016, 16:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der letzte Bruch ist ohnehin so etwas.
06.03.2016, 17:13	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber meistens stehen ja die Aufgaben ohne Bruch da, den muss man dann ja erst noch bilden, oder? $\begin{eqnarray} (x^2-2)e^x \end{eqnarray*}$ Es sind eher solche Aufgaben, könnten wir es mit solchen machen? Hier habe ich jetzt schon eine Klammer, wie könnte ich da beim Ausklammern ansetzen?
06.03.2016, 17:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gar nichts mehr, da steht ja schon ein Produkt! Nimm nochmals den letzten Bruch! Dort sollst du aus Zähler und Nenner entsprechend ausklammern und dann kürzen. Das ist eine typische Anwendung. mY+
06.03.2016, 18:47	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Zähler würde ich $\begin{eqnarray} xe^2x \end{eqnarray*}$ ausklammern, geht das?
06.03.2016, 20:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du meinst $\begin{eqnarray} x \cdot e^{2x} \end{eqnarray}$ , dann ja und im Nenner?
07.03.2016, 04:34	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das meinte ich, sorry. Im Nenner würde ich $\begin{eqnarray} 2xe^x \end{eqnarray}$ ausklammern. Dann habe ich xe^2x(xe^x) im Zähler und 2xe^x(e^x) im Nenner.
07.03.2016, 09:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Faktor zum Ausklammern hast du jetzt zwar richtig, aber das andere ist falsch! Wenn der ausgeklammerte Faktor und der Summand in der Klammer gleich sind, bleibt NICHT 0 sondern 1 stehen (!)* Ausserdem solltes du den Bruch nunmehr kürzen! Was bleibt also richtig in der Klammer und wie lautet der Bruch nach dem Kürzen? () $\begin{eqnarray} a^2 - a = a(a - \color{red}1\color{black}) \end{eqnarray*}$ mY+
08.03.2016, 15:37	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann steht im Zähler und Nenner in der Klammer jeweils das was ich bereits habe und dazu jeweils noch +1?
09.03.2016, 02:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wird schon so sein. Schreibe vielleicht nochmals das GANZE Ergebnis und denke auch an das Kürzen! mY+
09.03.2016, 05:17	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
xe^2x(xe^x+1) im Zähler und 2xe^x(e^x+1) im Nenner. Gekürzt wäre es dann im Zähler xe^x(xe^x) und im Nenner 2(e^x) Ich bin jetzt davon ausgegangen, dass e^x und xe^x nicht dasselbe ist.
09.03.2016, 10:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist in der Tat nicht dasselbe. Du hast aber dennoch arg "gezaubert"! Beim Ausklammern offensichtlich einen Fehler und ausserdem falsch gekürzt! Schauen wir uns das einmal an: $\begin{eqnarray} \frac {xe^{3x} + xe^{2x}}{2xe^{2x} + 2xe^x} = ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ... = \frac{xe^{2x}(e^x+1)}{2xe^x(e^x+1)} \end{eqnarray}$ Bis dahin klar?
11.03.2016, 14:04	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die ausführliche Darstellung. Es ist soweit klar, außer jeweils die 1 in der Klammer. Was teile ich nochmal durch was, damit ich auf die 1 komme?
11.03.2016, 14:25	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Ausklammern mußt du jeden Summanden durch den Term dividieren, den du ausklammern willst. Mach doch die Rechnung mal rückwärts. Dann siehst du, warum die "+ 1" dahin gehört und nichts anderes.
11.03.2016, 20:58	Aths	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön, das ist verständlich. Wie geht es dann weiter?
14.03.2016, 09:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst nun aus Zähler und Nenner jeweils gleiche Faktoren streichen. Man nennt das "Kürzen".

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