Supremum/Infimum: sup(-A) = -inf(A)

06.03.2016, 10:34	An-.-Se	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum/Infimum: sup(-A) = -inf(A) Hallo Leute! Ich sitze seit einiger Zeit an einer Aufgabe und blicke da nicht wirklich durch. Es geht um folgende Aufgabe Sei $\begin{eqnarray} A\subset R \end{eqnarray}$ eine nicht leere und nach unten beschränkte Menge. Wir betrachten die Menge $\begin{eqnarray} -A = \left\{ -a, a \in A\right\} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass dann gilt: $\begin{eqnarray} sup(-A) = -inf(A) \end{eqnarray}$ . Folgende Überlegungen habe ich gemacht: Da die Menge A nicht leer und nach unten beschränkt ist, kann ich auf jeden Fall sagen, dass diese Menge ein Infimum besitzt. Ich schreibe also $\begin{eqnarray} x:=inf(A) \end{eqnarray}$ Weiterhin kann ich sagen: $\begin{eqnarray} \forall a \in A : x\leq a\Rightarrow -x\geq -a, \forall a\in A \end{eqnarray}$ Da ja $\begin{eqnarray} -a\in -A \end{eqnarray}$ ist -x eine obere Schranke von -A. Jetzt muss ich zeigen, dass -x die kleinste obere Schranke ist. Angenommen $\begin{eqnarray} s < -x \end{eqnarray}$ ist eine obere Schranke von -A $\begin{eqnarray} \Rightarrow\forall b \in -A : b \leq s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \forall b \in -A : -b \geq -s \end{eqnarray}$ (Da $\begin{eqnarray} b\in -A \end{eqnarray}$ müsste doch $\begin{eqnarray} -b \in A \end{eqnarray}$ sein) () Jetzt kommt ein Schritt, den ich nicht ganz nachvollziehen kann: (Entsteht die folgende Aussage wegen ()?) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \forall a \in A: x\geq -s \end{eqnarray}$ (Kann es sein, dass ich mich hier verschrieben habe und statt x ein a hin muss?) Warum ist dann -s eine untere Schranke von -A? Müsste nicht -s die untere Schranke von A sein, da ja $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ ? Und wie komme ich jetzt zur endgültigen Überlegung? Danke schon mal für eure Hilfe!
06.03.2016, 16:54	An-.-Se	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum/Infimum: sup(-A) = -inf(A) Kann keiner helfen?
06.03.2016, 17:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum/Infimum: sup(-A) = -inf(A) Du hast Recht, es soll am Ende heißen $\begin{eqnarray} \forall a \in A: a \geq -s \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} -s \end{eqnarray}$ eine untere Schranke für $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ die größte untere Schranke nach Definition war, gilt somit $\begin{eqnarray} x \geq -s \end{eqnarray}$ . Offenbar sind die 2 Schritte in der Lösung zu einem zusammengerutscht. Nach Annahme war $\begin{eqnarray} s < -x \end{eqnarray}$ , da es eine kleinere obere Schranke von $\begin{eqnarray} -A \end{eqnarray}$ war. Nun folgt, aus $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ die größte untere Schranke von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} x \geq -s \end{eqnarray}$ . Beides zusammen kann nicht gelten.
07.03.2016, 21:41	An-.-Se	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum/Infimum: sup(-A) = -inf(A) Danke!

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