Vereinfache - Mengenlehre

06.03.2016, 13:51

MarkusMueller

Vereinfache - Mengenlehre

Hallo zusammen,

all erstes einmal ein grosses Lob an dieses Forum. Ich konnte bisher viele Fragen mit Hilfe der Suchfunktion lösen. Heute steh ich allerdings vor einer Frage, bei der ich mit nicht sicher bin ob ich den Richtigen Lösungsweg verwendet habe. Anbei die Aufgabenstellung, die grafische Veranschaulichung. Ich hoffe man kann meinem Gedankengang folgen.

Vielen Dank schonmal vorweg.

Gruss Markus

10.03.2016, 18:39

Mathema

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Zitat:

Ich hoffe man kann meinem Gedankengang folgen.

Leider überhaupt nicht. Was sollst du denn machen - die erste Aussage vereinfachen? Wo kommt die Menge C auf einmal her?

10.03.2016, 21:02

MarkusMueller

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Hallo Mathema,

vielen Dank für deine Rückantwort. Du hast natürlich vollkommen recht. Das kommt davon wenn man sich im Internet einen Wolf sucht bis man auf eine vermeintlich richtige Lösung stösst. Ich hab das ganze nun selbst versucht zu lösen, wobei es mir teilweise sehr schwer fällt, da einzelne Schritte nicht ganz selbsterklärend sind.

Aufgabe A: Ist eine weitere Vereinfachung möglich?

Aufgabe B: Ich hab inzwischen die Lösung erhalten, kann die Schritte hier grün und rot markiert aber nicht nachvollziehen. Ich hab auch kein Rechengesetzt gefunden auf das ich es zurückführen könnte. Meine mathematische Denkweise scheint mir noch rudimentäre Lücken aufzuweisen. verwirrt

Sorry, das ich für die Aufgaben nicht den Latex-Editor verwende, aber it den ganzen Overlines hab ich die Krise bekommen.

Vielen Dank schonmal

11.03.2016, 18:02

Mathema

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Hallo Markus,

Zitat:

Aufgabe A: Ist eine weitere Vereinfachung möglich?

Ja - stammen A und B aus dem Universum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ wäre das:

$\begin{eqnarray*} A \cup (A^c \cap B)=(A \cup A^c)\cap (A \cup B)=U \cap (A \cup B)=A \cup B \end{eqnarray*}$

Ich habe aber als vereinfachtes Ergebnis A erhalten. Falls ich also nicht ein Fehler gemacht habe, stimmt dein Ergebnis nicht. Vielleicht überprüft ja jemand anderes noch mal das Ergebnis.

Zitat:

Aufgabe B: Ich hab inzwischen die Lösung erhalten

Woher? Das scheint mir auch nicht zu stimmen.

11.03.2016, 19:48

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$\begin{eqnarray*} \overline{\overline{A}\cap\left(\overline{A\cap B}\right)}=A \end{eqnarray*}$

11.03.2016, 19:58

Mathema

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Danke!

11.03.2016, 21:10

MarkusMueller

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Guten Abend zusammen,

zum Wochenende hin ist der Kopf langsam wieder frei und ich hab die Aufgaben meiner Meinung nach richtig gelöst. Zur Feier des Tages hab ich mich entschieden den Lösungsweg detailliert und hoffentlich dieses Mal nachvollziehbar darzulegen:

Aufgabe A:

$\begin{eqnarray*} \overline{\overline{A}\cap \left(\overline{\overline{A}\cap B}\right)} \end{eqnarray*}$

Im ersten Schritt kommt das de Morgansche Gesetz zum tragen, darum ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \overline{\overline{A}\cap \left(A\cup \overline{B}\right)} \end{eqnarray*}$

Der zweite Schritt ist nichts neues und auch hier tritt die de Morgansche Regel in Kraft:

$\begin{eqnarray*} A\cup\left(\overline{\overline{A}\cup B}\right) \end{eqnarray*}$

Nun noch ein letztes mal das gleiche Spiel:

$\begin{eqnarray*} A\cup \left(A\cap \overline{B}\right) \end{eqnarray*}$

Für den letzten Schritt um auf das Ergebnis zu kommen, muss man nur noch logisch überlegen. Denn A geschnitten mit der "allem was nicht B ist" und daraus wiederum die Vereinigungsmenge mit A, kann nur die Menge A sein.

Freude

Aufgabe B:

$\begin{eqnarray*} \left(A\cap B\cap C\right) \cup \left(\overline{\overline{A}\cup \overline{B}\cup C}\right)\cup \left(A\cap \overline{B}\cap C\right) \end{eqnarray*}$

Zuerst die de Morgansche Regel um den mittleren Teil zu vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \left(A\cap B\cap C\right) \cup \left(A\cap B\cap \overline{C}\right)\cup \left(A\cap \overline{B}\cap C\right) \end{eqnarray*}$

Hier kann man offensichtlich A ausklammern, das für zu dem Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} A\cap \left(\left(B\cap C\right)\cup \left(B\cap \overline{C}\right)\cup \left(\overline{B}\cap C\right) \right) \end{eqnarray*}$

Als nächstes B ausklammern:

$\begin{eqnarray*} A\cap \left(\left(B\cap \left(C\cup \overline{C}\right) \right)\cup \left(B\cap C\right) \right) \end{eqnarray*}$

Nun eigentlich einfach nur noch zusammenfassen und es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} A\cap \left(B\cap \left(B\cap C\right) \right) = A\cap B\cap C \end{eqnarray*}$

Lehrer

Ich wäre froh wenn man mir das noch kurz so bestätigen könnte verwirrt

Danke und allen ein schönes Wochenende

11.03.2016, 22:16

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$\begin{eqnarray*} \overline{\overline{A}\cap \left(\overline{\overline{A}\cap B}\right)}= {A}\cup \left(\overline{A}\cap B\right) \end{eqnarray*}$ und alles Weitere hat Mathema schon gesagt

11.03.2016, 22:28

Mathema

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Dein Ergebnis bei b) stimmt nicht.

Ich habe $\begin{eqnarray*} A\cap(B \cup C) \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

Bis hierhin stimmt es noch:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A\cap \left(\left(B\cap C\right)\cup \left(B\cap \overline{C}\right)\cup \left(\overline{B}\cap C\right) \right) \end{eqnarray*}$

13.03.2016, 11:09

MarkusMueller

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Hallo Mathema,

jetzt ist der Groschen endlich gefallen smile

Ich konnte nun auf die richtigen Ergebnisse kommen und auch weitere ähnliche Aufgaben erfolgreich lösen. Vielen Dank nochmal für deine Hilfe. Ich trage nochmal alle Rechenschritte zusammen, vielleicht hilft es jemand anders auch noch.

Aufgabe B:

$\begin{eqnarray*} A\cap \left(\left(B\cap C \right)\cup \left(B\cap \overline{C}\right)\cup \left(\overline{B}\cap C\right)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\cap \left(\left(\left(B\cap \left(C\cup \overline{C}\right) \right)\cup \left(\overline {B}\cap C\right) \right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\cap \left(\left(B\cap M \right)\cup \left(\overline {B}\cap C\right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\cap \left(B\cup \left(\overline {B}\cap C\right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\cap \left(\left(B\cup \overline {B}\right) \cap \left(B\cup C\right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\cap \left(M\cap \left(B\cup C\right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\cap \left(\left(M\cap B\right)\cup \left(M\cap C\right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\cap \left(B\cup C\right) \end{eqnarray*}$

Als Anmerkung noch A,B und C sind alles Teilmengen der Gesamtmenge M

Gruss und einen schönen Sonntag Wink

13.03.2016, 11:18

Mathema

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Prima - das freut mich zu hören.

Noch als Tipp (falls du noch mal hier eine Aufgabe stellen möchtest):

Benutze nächstes Mal gleich den Formeleditor. Dann musst du sicherlich nicht 4 Tage auf eine Antwort warten und ich muss nicht eine Aufgabe ( $\begin{eqnarray*} \overline{\overline{A}\cap\left(\overline{A\cap B}\right)} \end{eqnarray*}$ ) lösen, die eigentlich nicht Thema ist. Dass es eigentlich um die Aufgabe $\begin{eqnarray*} \overline{\overline{A}\cap \left(\overline{\overline{A}\cap B}\right)} \end{eqnarray*}$ ging, war auf deinem Scan wirklich nicht zu erkennen.

Dir auch noch einen schönen Sonntag!

Wink

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