Prädikatenlogik -> Formeln negieren

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06.03.2016, 13:10

Shizmo

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Prädikatenlogik -> Formeln negieren

Hallo, ich soll diese drei Formeln negieren:

$\begin{eqnarray*} \exists z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(z) = z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists x (P(x) \vee P(y)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall x \forall y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x,y) = z \end{eqnarray*}$

Meiner Meinung nach würde das dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \forall z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(z) \neq z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall x (P(x) \wedge P(y)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists x \exists y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x,y) \neq z \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

LG

06.03.2016, 13:48

echnaton

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Einen Ausdruck in Prädikatenlogik negiert man, indem die Quantoren jeweils einzeln und die Aussageform negiert werden. Aufagbe 1 und 3 sind richtig. Schau dir bei der zweiten Aufgabe nochmal die negierte Aussagefom an, ob du einen Fehler entdeckst.

06.03.2016, 14:57

Shizmo

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Hmm, also die P's auch negieren oder? Also

$\begin{eqnarray*} \forall x (\neg P(x) \wedge \neg P(y)) \end{eqnarray*}$

Außerdem soll ich noch die freien und gebundenen Variablen angeben.

Also ich würde sagen,

$\begin{eqnarray*} \exists z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(z) = z \end{eqnarray*}$
Das z bei f(z) ist gebunden, das z nach dem = ist frei.
$\begin{eqnarray*} \exists x (P(x) \vee P(y)) \end{eqnarray*}$
Das x ist gebunden, das y ist frei
$\begin{eqnarray*} \forall x \forall y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x,y) = z \end{eqnarray*}$
x und y sind gebunden, z ist frei

06.03.2016, 16:21

echnaton

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Zitat:

Original von Shizmo
Hmm, also die P's auch negieren oder? Also

$\begin{eqnarray*} \forall x (\neg P(x) \wedge \neg P(y)) \end{eqnarray*}$

Stimmt.

$\begin{eqnarray*} \neg (p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Shizmo
[*] $\begin{eqnarray*} \exists z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(z) = z \end{eqnarray*}$
Das z bei f(z) ist gebunden, das z nach dem = ist frei.

$\begin{eqnarray*} \exists z(f(z)=z) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ liegt im Wirkungsbereich des Quantors, ist also gebunden.
Im Beispiel $\begin{eqnarray*} P(z) \wedge \forall z: Q(z) \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ sowohl frei, als auch gebunden.

Zitat:

Original von Shizmo
[*] $\begin{eqnarray*} \exists x (P(x) \vee P(y)) \end{eqnarray*}$
Das x ist gebunden, das y ist frei

Stimmt.

Zitat:

Original von Shizmo
[*] $\begin{eqnarray*} \forall x \forall y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x,y) = z \end{eqnarray*}$
x und y sind gebunden, z ist frei

Stimmt.

06.03.2016, 18:58

Shizmo

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Großartig, vielen Dank Augenzwinkern

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