Matrix des Endomorphismus bzgl. Basis finden

06.03.2016, 17:40	skye2193	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix des Endomorphismus bzgl. Basis finden Meine Frage: Hallo zusammen, Ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme leider überhaupt nicht weiter. Google konnte mir bisher auch nicht helfen. Die Aufgabe lautet wie folgt: "Seien $\begin{eqnarray} A = (a_{ij}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B = (b_{ij}) \end{eqnarray}$ Matrizen vom Typ 2×2, und bezeichne $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ den durch die Zuordnung $\begin{eqnarray} M \mapsto AMB \end{eqnarray}$ auf dem Raum $\begin{eqnarray} K^{2x2} \end{eqnarray}$ der 2 × 2 Matrizen gegebenen Endomorphismus. Man finde die Matrix von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} (e_{11}, e_{12}, e_{21}, e_{22}) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} K^{2x2} \end{eqnarray}$ " Meine Ideen: Ich habe mir folgendes überlegt: 1. Die Basen $\begin{eqnarray} e_{ij} \end{eqnarray}$ für M einsetzen und abbilden mittels $\begin{eqnarray} M \mapsto AMB \end{eqnarray}$ 2. Danach die erhaltenen Bilder als Linearkombination der Basen darstellen und aus den Koeffizienten die Matrix bilden. Für 1. erhalte ich durch abbilden der Basen: $\begin{eqnarray} \phi(e_{11}):\begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & a_{11}b_{22} \\ a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} \end{pmatrix}<br /> \phi(e_{12}):\begin{pmatrix} a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} \\ a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} \end{pmatrix} <br /> \phi(e_{21}:\begin{pmatrix} a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} \\ a_{22}b_{11} & a_{22}b_{12} \end{pmatrix}<br /> \phi(e_{22}):\begin{pmatrix} a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} \\ a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Versuche ich nun jedoch daraus eine Linearkombination zu bilden scheitere ich kläglich. Ich bin mir überhaupt nicht sicher ob dies der richtige Weg ist. Oder muss ich hier mit Eigenvektoren/-werten arbeiten? Vielen lieben Dank für einen Tipp!
06.03.2016, 18:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Koeffizient rechts oben in der Matrix $\begin{eqnarray} \phi(e_{11}) \end{eqnarray}$ ist nicht $\begin{eqnarray} a_{11}b_{22} \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} a_{11}b_{12} \end{eqnarray}$ , sonst stimmt alles. Nun ist $\begin{eqnarray} K^{2\times 2}\cong K^4 \end{eqnarray}$ , also ist die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} M_{\phi} \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} 4\times 4 \end{eqnarray}$ -Matrix . Ihre Spalten enthalten genau die Koeffizienten der Bilder $\begin{eqnarray} \phi(e_{ij}) \end{eqnarray}$ .
06.03.2016, 22:47	skye2193	Auf diesen Beitrag antworten »
Ciao Elvis, wow, vielen danke für die schnelle Antwort. Dann lag ich wohl doch nicht so ganz daneben Wenn ich dich richtig verstehe müsste ich jetzt nur noch die Bilder der Basisvektoren als Spalten auffassen oder? Das darf ich aber nur direkt so machen, weil wir hier mit der Standardbasis arbeiten. Bei einer anderen Basis müsste ich die Linearkombination bilden richtig? Also wäre $\begin{eqnarray} M_{\phi} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & a_{11}b_{21} & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{21} \\ a_{11}b_{12} & a_{11}b_{22} & a_{12}b_{12} & a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} & a_{21}b_{21} & a_{22}b_{11} & a_{22}b_{21} \\ a_{21}b_{12} & a_{21}b_{22} & a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was mir noch nicht 100% klar ist, wieso ich von $\begin{eqnarray} K ^{2x2} = K ^{4} \end{eqnarray}$ schliessen kann bzw. wieso $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \\ d\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Vielen Dank schon mal im Voraus für die Bemühungen. Liebe Grüsse
07.03.2016, 10:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In den Spalten einer Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} M_{\phi} \end{eqnarray}$ einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \phi:V\to W \end{eqnarray}$ stehen bezüglich Basen $\begin{eqnarray} B_V=\{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_W=\{w_1,...,w_m\} \end{eqnarray}$ immer die Bilder $\begin{eqnarray} \phi(v_i)=\sum_{j=1}^m c_{ij}w_j=\begin{pmatrix} c_{i1} \\ ... \\ c_{im} \end{pmatrix}, i=1,...,n \end{eqnarray}$ Ein Schreibfehler in der 3. Spalte, 4. Zeile. Die Dimensionen sind gleich 4, also sind die beiden Vektorräume isomorph. Ein Isomorphismus ist gegeben durch $\begin{eqnarray} \psi:K^{2\times 2}\to K^4,\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
07.03.2016, 21:37	skye2193	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, Super! Vielen Dank. Jetzt ist alles klar. Schöne Woche wünsch ich dir noch.

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