Summe von Eigenräumen und kommutierende Matrizen

07.03.2016, 18:29

.unknown.

Summe von Eigenräumen und kommutierende Matrizen

Meine Frage:
Hallo zusammen.

Mir steht gerade etwas auf der Leitung bei folgender Aufgabe. Irgendwie ist mir klar, dass die Behauptung stimmen muss, allerdings weiss ich nicht wo ich den Ansatz suchen muss.

Danke schonmal für eure Hilfe smile

Meine Ideen:
Also eigentlich heisst das ja dass die beiden Matrizen bezüglich der gleichen Matrix S diagonalisierbar sind.

07.03.2016, 20:19

echnaton

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Zitat:

Also eigentlich heisst das ja dass die beiden Matrizen bezüglich der gleichen Matrix S diagonalisierbar sind.

Sehe ich auch so, nur muss man das noch etwas genauer begründen.

Der Rest ist eigentlich ganz einfach: $\begin{eqnarray*} A = S^{-1}D_AS \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = S^{-1}D_BS \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} AB = \dots = BA \end{eqnarray*}$ smile

07.03.2016, 20:38

.unknown.

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danke echnaton für deine Antwort.
ich glaube den beweis hab ich jetzt.

$\begin{eqnarray*} AB = S^{-1}D_ASS^{-1}D_B S = S^{-1}D_A D_BS <br /> = S^{-1}D_B D_A S = B S^{-1}SA = BA \end{eqnarray*}$

bei der begründung haperts aber noch :/

also lambda und das zugehörige mü haben die gleiche algebraische vielfachheit, somit sollte die dimension des eigenraumes dieselbe sein.

07.03.2016, 21:09

echnaton

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Zitat:

Original von .unknown.
$\begin{eqnarray*} AB = S^{-1}D_ASS^{-1}D_B S = S^{-1}D_A D_BS <br /> = S^{-1}D_B D_A S = B S^{-1}SA = BA \end{eqnarray*}$

Da muss vorher noch die Einheitsmatrix rein, aber sonst stimmt das.

$\begin{eqnarray*} S^{-1}D_B D_A S = S^{-1}D_B(SS^{-1}) D_A S = BA \end{eqnarray*}$

Was bedeutet zunächst $\begin{eqnarray*} \bigoplus_{i=1}^k \text{Eig}(M, \lambda_i) = \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ für die Matrix $\begin{eqnarray*} M \in \mathbb K^{n \times n} \end{eqnarray*}$ ?

Was sind (ganz allgemein gesprochen) die Spaltenvektoren der Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ? Beachte dann, die Bedingung $\begin{eqnarray*} \text{Eig}(B, \mu_i) = \text{Eig}(A, \lambda_j) \end{eqnarray*}$ .

07.03.2016, 21:27

.unknown.

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super danke smile

das bedeutet, dass die Summer aller Eigenräume von M den ganzen Körper bilden bzw die Basen der Eigenräume eine Basis des Körpers bilden.

Die Spaltenvektoren sind die Eigenvektoren der Matrix M.

$\begin{eqnarray*} Eig(A,\lambda) = Eig(B,\mu) \end{eqnarray*}$ beudeutet also dass die Basen der Eigenräume (bzw Eigenvektoren der Matrix zum zugehörigen Eigenwert) gleichen sind und somit die beiden Matrizen A und B bezüglich der gleichen Matrix S diagonalisierbar sind.

stimmt das so?

07.03.2016, 22:24

echnaton

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Ich habe oben versehentlich $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ vertauscht. Wenn ich $\begin{eqnarray*} D_A=S^{-1}AS \end{eqnarray*}$ habe, folgt daraus $\begin{eqnarray*} A=SD_AS^{-1} \end{eqnarray*}$ . Die Beweisidee bleibt natürlich gleich.

Ich denke, du hast die Grundidee verstanden.

$\begin{eqnarray*} \bigoplus_{i=1}^k \text{Eig}(M, \lambda_i) = \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ ist Äquivalent zur Diagonalisierbarkeit von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Dadurch weiß man, dass die Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ überhaupt diagonalisierbar sind.

Um $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ aufzustellen, braucht man eine Basis aus Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ , die man sich aus den Eigenräumen besorgen kann. Ich schreibe es mal als $\begin{eqnarray*} S = ( \text{Eig}(A, \lambda_1), \dots, \text{Eig}(A, \lambda_k) ) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} D_A = S^{-1}AS \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist auch $\begin{eqnarray*} S' = ( \text{Eig}(B, \mu_1), \dots, \text{Eig}(B, \mu_k) ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D_B = S'^{-1}BS' \end{eqnarray*}$ .

Jetzt schau dir mal die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \forall i \, \exists j: \text{ Eig}(B, \mu_i) = \text{Eig}(A, \lambda_j) \end{eqnarray*}$ an.

Durch die einfache Ersetzung, gilt noch nicht zwangsläufig $\begin{eqnarray*} S = S' \end{eqnarray*}$ . Wie wirkt sich aber eine Vertauschung der Spalten in der Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ auf die Diagonalmatrix aus?

Ich hoffe, dass passt jetzt alles. Ist schon spät. Gute Nacht! Schläfer

09.03.2016, 08:56

.unknown.

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vielen dank.
ich glaub jetzt ist alles logisch danke smile

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