Markovketten

08.03.2016, 08:51	loop90	Auf diesen Beitrag antworten »
Markovketten Meine Frage: Hey MMPler, ich versuche mich gerade an Markovketten. Leider bin ich nicht gerade ein Experte in diesem Bereich. Ich habe mir folgendes Experiment ausgedacht und wollte fragen, wie man dort vorgeht. Problemstellung: Ich besitze $\begin{eqnarray} s \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ - viele Spielzeuge und $\begin{eqnarray} s+1 \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ - viele Freunde. Im folgenden sei $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$ gibt die Rate an, wie oft jeder Freund ein Spielzeug in einem Jahr haben möchte (hier mal bei allen gleich). Außerdem sei <math>\mu</math> die Lieferzeit in Jahren, die ich benötige, um meinen Freunden das Geschenk zu bringen. Im Zustand $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ habe ich immernoch $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ viele Spielzeuge. Im Zustand $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ möchte der erste Freund nun ein Spielzeug. also habe ich nur noch $\begin{eqnarray} s-1 \end{eqnarray}$ viele. Dabei beträgt die Übergangswahrscheinlichkeit 1. Das ich das Spielzeug zurück bekomme hat eine Übergangswahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{\mu}}{\lambda + \frac{1}{\mu}} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich kann also (hoffentlich richtig) meine Übergangswahrscheinlichkeiten angeben als (bitte habt Nachsicht, was die Notation angeht. Darin bin ich nicht wirklich bewandt): Sei $\begin{eqnarray} j\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1\leq j \leq s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(0 \to 1) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(j \to j+1) = \frac{\lambda}{\lambda + \frac{j}{\mu}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(j \to j-1) = \frac{\frac{j}{\mu}}{\lambda + \frac{j}{\mu}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(s+1 \to s) = 1 \end{eqnarray}$ Meine Frage ist, wie ich eine Verweildauer bestimmen kann, die mir sagt, wie lange mein Spielzeug beim $\begin{eqnarray} s+1 \end{eqnarray}$ Freund verweilen wird. Kann man hier irgendwie überhaupt Zeiten bestimmen? Edit: Oder besser nachgefragt, wie lange muss mein $\begin{eqnarray} s+1 \end{eqnarray}$ -ter Freund warten, bis ich ihm ein Spielzeug geben kann? lg, loop_

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