Integralrechnung mit Winkelfunktionen

08.03.2016, 12:30

Höhere Mathematik

Integralrechnung mit Winkelfunktionen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

habe Probleme bei folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{x-cos(x)*sin(x)}{x^{2}+cos^{2}(x) } \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Normalerweise löse ich Integrale dieser Art mit der Partialbruchzerlegung, hier jedoch weiß ich nicht mal wie ich anfangen soll?

ich weiß, dass die Lösung: $\begin{eqnarray*} \frac{ln (x^{2}+cos^{2} (x) )}{2} +C \end{eqnarray*}$

lauten soll. Jedoch bringt mich dies bei der eigenständigen Lösung des Integrals nicht weiter....

Hoffe auf verständliche Hilfestellungen!

08.03.2016, 12:39

Mathema

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{g'(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\ln(g(x)) \end{eqnarray*}$

Hier gibt es also keinen Anfang, man schreibt die Lösung direkt hin, nachdem man den Bruch mit 2 erweitert hat.

08.03.2016, 12:53

klarsoweit

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Nun ja, rein formal könnte man durchaus $\begin{eqnarray*} u = x^2 + cos^2(x) \end{eqnarray*}$ substituieren.

08.03.2016, 13:13

Höhere Mathematik

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Leider komme ich mit der 1. Antwort so nicht wirklich weiter :/

@klarsoweit

wann soll ich substituieren? Nachdem ich mit 2 alles erweitert habe oder ist das ein anderer Weg?

08.03.2016, 13:26

klarsoweit

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Da hast du freie Wahl: du kannst sofort substituieren oder vorher den Bruch mit 2 erweitern. Am Ende bleibt sich das gleich. smile

08.03.2016, 13:42

Höhere Mathematik

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Okay, ich werde dann mal deinen Weg einschlagen, denn mir ergibt es sich nicht ganz warum ich erst mit 2 erweitern sollte.

Ich würde die Aufgaben sonst versuchen Step by Step hier zu lösen, falls das in Ordnung ist? Bin mir da bei der Substitution noch ein wenig unsicher :

also ich substituiere zuerst mit:
$\begin{eqnarray*} u = x^{2} + cos^{2}(x) \end{eqnarray*}$

Dieser muss ja nun abgeleitet werden und nach dx umgestellt werden:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = 2x - 2cos(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{2x - 2cos(x)*sin(x)} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig, oder?

Sprich wir hätten dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{x-cos(x)*sin(x)}{u} * \frac{du}{2x - 2cos(x)*sin(x)} \ \end{eqnarray*}$

Nun sieht das alles aber nur noch viel schlimmer aus traurig

08.03.2016, 13:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Höhere Mathematik
Ich würde die Aufgaben sonst versuchen Step by Step hier zu lösen, falls das in Ordnung ist?

Gerne. Dafür ist das Board da. smile

Zitat:

Original von Höhere Mathematik
Nun sieht das alles aber nur noch viel schlimmer aus traurig

Nur auf den ersten Blick. Denn jetzt kannst du im Nenner vom 2. Bruch eine 2 ausklammern und dann einen lästigen Term kürzen. Augenzwinkern

08.03.2016, 13:59

Höhere Mathematik

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Ach grandios, das ist ja alles gar nicht so schwer wie zuerst angenommen smile

also nachdem ausklammern des Faktors 2 erhalte ich und kürzen erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} * \frac{du}{2} bzw <br /> \frac{1}{2} \int_{}^{} \! \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} ln | u | +C \end{eqnarray*}$

Und nach dem Rücksubstituierten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ln | x^{2} + cos^{2} (x) | +C = \frac{ln (x^{2}+cos^{2} (x) }{2} +C \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für deine Hilfestellung :tumb:

Eine Frage hätte ich aber noch: gibt es Tipps bei denen ich weiß, dass eine Substitution sinnvoll wäre?

Bis jetzt musste ich nämlich bei allen längeren Brücken bei der Integralrechnung die Partialbruchzerlegung verwenden und mit dieser wäre ich hier nicht allzu weit gekommen....

08.03.2016, 14:05

Shalec

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Zitat:

Original von Höhere Mathematik
Leider komme ich mit der 1. Antwort so nicht wirklich weiter :/

Der Weg soll dir nur zeigen, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht (ungefähr..daher kommt die Erweiterung mit 2..)

In einem solchen Fall, also deine gegebene Funktion f ist Quotient aus g' und g, wobei g die Nennerfunktion ist, dann kannst du die "Rechenregel" nutzen.

Aber du lernst mehr, wenn du dein aktuelles Vorhaben umsetzt. :-)

08.03.2016, 14:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Höhere Mathematik
Eine Frage hätte ich aber noch: gibt es Tipps bei denen ich weiß, dass eine Substitution sinnvoll wäre?

Nun ja, gerade bei der Integration gibt es kaum Kochrezepte. Da helfen Erfahrung und Übung und ein Blick für Situationen wie in dieser Aufgabe. Augenzwinkern

08.03.2016, 14:56

Mathema

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Zitat:

Aber du lernst mehr, wenn du dein aktuelles Vorhaben umsetzt.

Das ist deine Meinung, meine sieht anders aus. Man sollte prinzipiell wohl immer die beste Art der Berechnung anstreben. Die Substitution kann man natürlich machen, sie ist aber unnötig. Ich halte es also für wesentlich wichtiger, dass der Threadersteller sich mal meine "Rechenregel" (wie du es formulierst) klar macht, damit er beim nächsten Integral dieser Art schneller zum Ergebnis kommt.

10.03.2016, 19:11

Shalec

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Zitat:

Original von Mathema

Zitat:

Aber du lernst mehr, wenn du dein aktuelles Vorhaben umsetzt.

Natürlich sind solche Dinge sehr hilfreich um Zeit zu sparen. Ich ich vermute, dass es mehr Aufgaben geben wird, in denen eine geschickte Substitution angestellt werden muss, um zum Ziel zu kommen. Hilfreiche Substitutionsmechanismen lernt er aber nur durch Anwendungen kennen.
Ich finde den Satz natürlich auch viel praktischer, als immer mit der Substituion rechnen zu müssen :-)

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